Аналитична геометрия - 3 задачи

[Гост]

Здравейте, ще се радвам да помогнете.
1.
Даден е [tex]\triangle[/tex]ABC с върхове А(2,4,4), B(1,6,2), C(0,5,6)
Намерете големините на страните и ъглите му.
отг. AB = AC = 3, BC = 3 \sqrt{2} , \angle B=\angle C=x/4, \angle A=x/2

2.
Дадени са точките А(3, -1, -2), B(2, -2, 4), C(0, 1, -4) и D(1, 0, -4)
Перпендикулярни ли са векторите \overline{ab} \overline{cd}
отг. Да

3.
Дадени са точките A(0, -1, -1), B(2, 1, -1), C(-2, 1, 1) и D(1, 0, 4)
Перпендикулярни ли са векторите \overline{ab} и \overline{cd}
отг. Не

[KOPMOPAH]

От координатите на върховете $A(2,4,4)$, $B(1,6,2)$, $C(0,5,6)$ намираме страните

$$|\overrightarrow{A B}|=\sqrt{(1-2)^{2}+(6-4)^{2}+(2-4)^{2}}=\sqrt{9}=3 ; \\ |\overrightarrow {A C}|=\sqrt{(\cdots)^{2}+(\cdots)^{2}+(\cdots)^{2}}=\sqrt{9}=3 ~~~~~~~~~~; \\ |\overrightarrow{B C}|=\sqrt{(\cdots)^{2}+(\cdots)^{2}+(\cdots)^{2}}=\sqrt{18}=3\sqrt 2~~~~$$
Ако не забележим веднага при така получените страни, че това е равнобедрен правоъгълен триъгълник, използваме формулата за косинус $$
\cos \alpha=\frac{\overrightarrow {A B} \cdot \overrightarrow {A C}}{|\overrightarrow {A B}| \cdot|\overrightarrow {A C}|}=\frac{(-1)\cdot(-2)+2 \cdot 1+(-2)\cdot 2}{3 \cdot 3}=\frac{0}{9}=0
$$
След като косинусът на един ъгъл в триъгълник е $0$, значи този ъгъл е прав. По същата формула за косинус се намират и другите два ъгъла.

[KOPMOPAH]

За втора и трета задача - перпендикулярност при вектори се доказва с намиране на скаларно произведение. Ако то е $0$, значи са перпендикулярни.

Например $$A(3, -1, -2), B(2, -2, 4) \Rightarrow \overrightarrow {AB}=((2-3),-2-(-1),4-(-2))=(-1,-1,6)$$ $$C(0, 1, -4), D(1, 0, -4) \Rightarrow \overrightarrow {CD}=((1-0),0-1,(-4-(-4))=(1,-1,0)$$
$$
\cos \alpha=\frac{ \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD}}{| \overrightarrow {AB}| \cdot| \overrightarrow {CD}|}=\frac{-1 \cdot 1+(-1) \cdot (-1)+6 \cdot 0}{\sqrt{\cdots} \cdot \sqrt{\cdots}}=\frac{0}{(\cdots\ne 0)}=0
$$
Когато косинусът е равен на $0$, смело пишем, че векторите са перпендикулярни, даже и да не ни е съвсем ясно защо

В трета задача няма да имаме късмета да видим нулата като косинус, значи векторите не са перпендикулярни.

[Гост]

Здравей, благодаря ти за бързия отговор.
Не мога да разчета написаното от теб, защото повечето математически символи ми ги изписва като компютърен код.
Би ли ми отговорил в ICQ? Благодаря.

[KOPMOPAH]

2020-12-03_144904.jpg (91.38 KiB) Прегледано 466 пъти

[KOPMOPAH]

2020-12-03_144936.jpg (98.11 KiB) Прегледано 466 пъти