Уравнението на права,пресичащо правите

[Гост]

Намерете уравнението на права - през координатното начало,пресичащо правите l: x-y+z+2=0,x-2y+3z-8=0,m:y-z+1=0,x+y-2z+4=0

[peyo]

Намерете уравнението на права - през координатното начало,пресичащо правите
l:
x-y+z+2=0,
x-2y+3z-8=0,
m:
y-z+1=0,
x+y-2z+4=0

Много интересна задача!

Да помислим! Правите тук са дефинирани като пресечни точки на 2 равнини. А ние пък като знаем, че минава през (0,0,0) търсената права n ще представим в следния формат:

n:
x = p*z
y = q*z

И само остава да намерим p и q.

Имаме l и n

x-y+z+2=0,
x-2y+3z-8=0,
x = p*z
y = q*z

Решаваме спрямо z

In [80]: solve([x - y + z + 2, x - 2*y + 3*z - 8, -p*z + x, -q*z + y], [x,y,p,q])
Out[80]: {p: (z - 12)/z, x: z - 12, q: 2 - 10/z, y: 2*z - 10}

Имаме m и n

y-z+1=0,
x+y-2z+4=0
x = p*z
y = q*z

Пак решаваме спрямо z

In [81]: solve([y - z + 1,x + y - 2*z + 4, -p*z + x, -q*z + y], [x,y,p,q])
Out[81]: {p: (z - 3)/z, x: z - 3, q: (z - 1)/z, y: z - 1}

И сега тук получихме:
p = (z - 12)/z
q = 2 - 10/z
p = (z - 3)/z
q = (z - 1)/z


Само че, това са различни точки z, затова ще въведем z1 и z2 за да ги различаваме:
(това е много важна точка от решението (ако не и най-важната) , да си представим кои прави се пресичат и кога да ги разделим)

p = (z1 - 12)/z1
q = 2 - 10/z1
p = (z2 - 3)/z2
q = (z2 - 1)/z2

Решаваме като да е система (а то е система от 4 уравнения с 4 неизвестни)

In [82]: solve([p - (z1 - 3)/z1, q - (z1 - 1)/z1, p - (z2 - 12)/z2, q - 2 + 10/z2])
Out[82]: [{p: -1, z2: 6, q: 1/3, z1: 3/2}]

И получихме отговор:

x = -z
y = z/3

С което задачата е решена.