Обеми

[Гост]

Тяло се простира от z=-(h/2) до z=h/2, като лицето на сечението му с равнината z=k е полином от трета степен спрямо k. Докажете, че обемът му е равен на (B+T+4M)h/6, където B е лицето на долната му основа, Т е лицето на горната му основа, а М е лицето на средното му сечение. Изведете от тази формула формулите за обем на сфера и конус.

[Добромир Глухаров]

Това е формулата на Симпсън. Ето как се доказва:

$S_{сеч.}=P_3(z)=az^3+bz^2+cz+d$

$V=\int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}P_3(z)dz=a\frac{z^4}{4}|_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}+b\frac{z^3}{3}|_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}+c\frac{z^2}{2}|_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}+dz|_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}=\\=0+\frac{b}{12}\cdot h^3+0+dh=\frac{bh^3}{12}+dh$

$B=P_3\left(-\frac{h}{2}\right)=-\frac{ah^3}{8}+\frac{bh^2}{4}-\frac{ch}{2}+d$

$T=P_3\left(\frac{h}{2}\right)=\frac{ah^3}{8}+\frac{bh^2}{4}+\frac{ch}{2}+d$

$M=P_3(0)=d$

$(B+T+4M)\frac{h}{6}=(\frac{bh^2}{2}+2d+4d)\frac{h}{6}=\frac{bh^3}{12}+dh=V$

$V_{сфера}=(0+0+4\pi R^2)\frac{2R}{6}=\frac{4}{3}\pi R^3$

$V_{конус}=(\pi R^2+0+4\pi\left(\frac{R}{2}\right)^2)\frac{H}{6}=\frac{\pi R^2}{3}$

[Гост]

да, на последната формула липсва едно h