Дадени са равнина а : 2x-y+z-2 и точка P (-1;0;3)...

[A.Boqrov]

2 зад. Дадени са равнина а : 2x-y+z-2 и точка P (-1;0;3). Намерете т.P’ симетрична на P относно а.

[Anubis]

Виждаме, че [tex]m(2; -1; 1)[/tex] е вектор, перпендикулярен на равнината [tex]\alpha[/tex]. Тогава права [tex]h[/tex], която е колинеарна с този

вектор и минава през точката [tex]P(-1; 0; 3)[/tex], има скаларни параметрични уравнения

[tex]h: \, \begin{array} x=-1+2s \\ y=-s \\ z=3+s \end{array}[/tex].

Така [tex]h \bot \alpha[/tex]. Търсим пресечната точка на правата и равнината. За целта заместваме координатите от скаларните

параметрични уравнения в уравнението на равнината, получаваме

[tex]\alpha: \, 2x-y+z-2=0 \Rightarrow 2(-1+2s)+s+3+s-2=0 \Leftrightarrow 6s-1=0 \Leftrightarrow s=\frac{1}{6}[/tex]. Намерихме

[tex]h \cap \alpha = P_{0} \left ( -\frac{2}{3}; -\frac{1}{6}; \frac{19}{6} \right )[/tex].

Нека [tex]P' \left ( x'; y'; z' \right )[/tex] е исканата симетрична точка на [tex]P[/tex] спрямо [tex]\alpha[/tex]. Тогава [tex]PP_{0}=P'P_{0}[/tex] и [tex]P_{0}[/tex] е среда на

отсечката [tex]PP'[/tex]. Координатите на [tex]P_{0}[/tex] са средно аритметични от координатите на [tex]P[/tex] и [tex]P'[/tex]. Така стигаме до

уравненията

[tex]\begin{array}{||} \frac{-1+x'}{2}=-\frac{2}{3} \\ \frac{y'}{2}=-\frac{1}{6} \\ \frac{z'+3}{2}=\frac{19}{6} \end{array}[/tex]. Оттук [tex]P' \left ( -\frac{1}{3}; -\frac{1}{3}; \frac{10}{3} \right )[/tex].