Изведете уравнение на равнина минаваща през М и ...

[A.Boqrov]

3зад. Дадени са т.М(Xo;Yo;Zo) и права l:x-x1/a =y-y1/b=z-z1/c. Изведете уравнение на равнина минаваща през М и перпендикулярна на l.

[Anubis]

Понеже [tex]l: \, \frac{x-x_{1}}{a}=\frac{y-y_{1}}{b}=\frac{z-z_{1}}{c}[/tex], то [tex]\frac{x-x_{1}}{a} = \lambda, \, \frac{y-y_{1}}{b} = \lambda, \, \frac{z-z_{1}}{c} = \lambda[/tex]. Оттук намираме скаларните

параметрични уравнения на правата [tex]l[/tex]:

[tex]l: \, \begin{array} x = x_{1} + \lambda a \\ y = y_{1} + \lambda b \\ z = z_{1} + \lambda c \end{array}[/tex].

Тъй като правата и равнината са перпендикулярни, то вектор, колинеарен с правата, е перпендикулярен на

равнината. Векторът [tex]m(a; b; c)[/tex] е колинеарен с [tex]l[/tex], следователно [tex]m \bot \alpha[/tex], [tex]\alpha[/tex] — търсената равнина.

Ако е дадена равнината [tex]\alpha: \, Ax+By+Cz+D=0[/tex], векторът [tex]p(A; B; C)[/tex] е перпендикулярен на равнината.

Така виждаме, че трябва да е изпълнено [tex]ax+by+cz+D=0[/tex]. Но [tex]M \left ( x_{0}; y_{0}; z_{0} \right ) \in \alpha[/tex], тогава нейните

координати удовлетворяват уравнението на равнината —

[tex]ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+D=0 \Leftrightarrow D = -ax_{0} - by_{0} - cz_{0}[/tex].

Накрая [tex]\alpha: \, ax+by+cz+D=0 \Leftrightarrow \alpha: \, ax+by+cz-ax_{0}-by_{0}-cz_{0}=0 \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \alpha: \, a \left ( x - x_{0} \right ) + b \left ( y - y_{0} \right ) + c \left ( z - z_{0} \right ) = 0[/tex].

[A.Boqrov]

Благодаря