елипса

[A.Boqrov]

Напишете каноничното уравнение на елипса, допираща се до правите x+y-5 и x+4y-10

[Anubis]

Ако имаме елипсата [tex]k: \, \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/tex], правата [tex]l: \, y=kx+n[/tex] е допирателна точно когато

[tex]a^2k^2+b^2=n^2[/tex].

В нашия случай допирателните са две — [tex]m_{1}: \, y=k_{1}x+n_{1}[/tex] и [tex]m_{2}: \, y=k_{2}x+n_{2}[/tex]. Съответно трябва да са

изпълнени две условия — [tex]a^2k_{1}^2+b^2=n_{1}^2[/tex] и [tex]a^2k_{2}^2+b^2=n_{2}^2[/tex].

Понеже [tex]m_{1}: \, y=-x+5[/tex] и [tex]m_{2}: \, y=-\frac{1}{4}x+\frac{5}{2}[/tex], то [tex]k_{1}=-1, \, n_{1}=5; \, k_{2}=-\frac{1}{4}, \, n_{2}=\frac{5}{2}[/tex]. Заместваме в условията

и намираме [tex]a^2=20, \, b^2=25[/tex].

Елипсата има канонично уравнение [tex]k: \, \frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{25}=1[/tex].