Уравнение на права (намиране на височини в триъгълник)

[Гост]

Нуждая се от помощ за задача, която гласи:
Дадени са уравненията на страните на триъгълник:
x+y-6=0
3x-5y+14=0
5x-3y-14=0
Да се съставят уравненията на височините му.

[ammornil]

::::::::::::::::: НЕОБХОДИМА ТЕОРИЯ :::::::::::::::::::::::::::::::::::
В правоъгълна координатна система [tex]Oxy, \vec{Ox}\bot \vec{Oy}[/tex], уравнение на правата [tex]p[/tex] се нарича линейно уравнение от вида [tex]p: ax+by+c=0[/tex], където [tex](x;y)[/tex] са координатите на коя да е точка от правата [tex]p[/tex]. Чете се: "права [tex]p[/tex] с уравнение [tex]ax+by+c=0[/tex]".
С други думи, ако имаме дадена точка [tex]A(x_{A};y_{A}),[/tex] тя лежи на правата [tex]p[/tex] тогава и само тогава, когато замествайки с координатите на А в уравнението на [tex]p[/tex] получаваме вярно числово равенство.
Това се записва така: [tex]\because \begin{array}{|l} p: ax+by+c=0 \\ A(x_{A};y_{A}) \in p \end{array} \Rightarrow a.x_{A}+b.y_{A}+c=0[/tex]

Това уравнение може да се представи като функция, спрямо [tex]y[/tex] във вида [tex]p: y=kx+m,[/tex] където [tex]\large \begin{cases} k=-\frac{a}{b} \\ m=-\frac{c}{b} \end{cases}[/tex]
Преведено за точка от правата имаме: [tex]\because \begin{array}{|l} p: y=kx+m \\ A(x_{A};y_{A}) \in p \end{array} \Rightarrow y_{A}=k.x_{A}+m[/tex].

220227_001.png (11.24 KiB) Прегледано 1288 пъти

[tex]k[/tex] се нарича налкон на правата, като [tex]k=\tg \alpha,[/tex] където [tex]\alpha[/tex] е ъгълът, който правата сключва с положителната посока на координатната ос [tex]\vec{Ox}[/tex]. Върхът на ъгъл [tex]\alpha[/tex] е тази точка от правата, за която [tex]y=0[/tex].
[tex]m[/tex] се нарича отрез, и показва точката в която правата пресича оста [tex]\vec{Oy}[/tex], тоест точката от правата за която [tex]x=0[/tex].

220227_002.png (21.15 KiB) Прегледано 1288 пъти

Две прави [tex]p_{1}: y_{1}=k_{1}x+m_{1}[/tex] и [tex]p_{2}: y_{2}=k_{2}x+m_{2}[/tex] , които не са успоредни помежду си, се пресичат точно в една точка [tex]P(x_{P},y_{P})[/tex], за която [tex]k_{1}x_{P}+m_{1}=k_{2}x_{P}+m_{2}[/tex]. Оттук се намира [tex]x_{P}[/tex] и се замества в кое да от уравненията на дадените прави за да се намери [tex]y_{P}[/tex].
Две прави [tex]p_{1}: y_{1}=k_{1}x+m_{1}[/tex] и [tex]p_{2}: y_{2}=k_{2}x+m_{2}[/tex] са успоредни помежду си ако [tex]k_{1}=k_{2}[/tex].
Две прави [tex]p_{1}: y_{1}=k_{1}x+m_{1}[/tex] и [tex]p_{2}: y_{2}=k_{2}x+m_{2}[/tex] са перпендикулярни помежду си, ако [tex]k_{1}.k_{2}=-1[/tex], което може да се запиша също като [tex]k_{1}=-\frac{1}{k_{2}}[/tex].
::::::::::::::::::::::::::::::::::::: КРАЙ НА ТЕОРИЯТА :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

Като знаем всичко това, нашата задача има следното условие.
Да се намерят пресечните точки на три дадени прави (върховете на триъгълника), и да се определят уравненията на други три прави, всяка от които минава през пресечна точка на две от дадените прави и перпендикулярна третата (следователно съдържат височините на триъгълника).
Ето го и решението.

Първо да намерим фунцкиите на дадените прави: [tex]y=kx+m[/tex], като трите прави ще отбележим съответно [tex]p_{1}, p_{2}, p_{3}[/tex]

[tex]p_{1}: x+y-6=0 \Rightarrow \begin{cases} a=1 \\ b=1 \\ c=-6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} k=-\frac{a}{b}=-1 \\ m=-\frac{c}{b}=6 \end{cases} \Rightarrow p_{1}: y=-x+6[/tex]
Виждаме, че вместо да правим сложни сметки, можем просто да изразим [tex]y[/tex] от дадените уравнения.

[tex]p_{1}: x+y-6=0 \Rightarrow y=-x+6 \Rightarrow \begin{cases} k_{1}=-1 \\ m_{1}=6 \end{cases}[/tex]
[tex]p_{2}: 3x-5y+14=0 \Rightarrow y=\frac{3}{5}x+\frac{14}{5} \Rightarrow \begin{cases} k_{2}=\frac{3}{5} \\ m_{2}=\frac{14}{5} \end{cases}[/tex]
[tex]p_{3}: 5x-3y-14=0 \Rightarrow y=\frac{5}{3}x-\frac{14}{3} \Rightarrow \begin{cases} k_{3}=\frac{5}{3} \\ m_{3}=-\frac{14}{3} \end{cases}[/tex]

Правим някои важни разглеждания:
(1) Никои две прави нямат еднакви уравнения, следователно никои две прави не съвпадат помежду си. Това е важно, защото ако две прави съвпадат, те не могат да съдържат страни на един и същ триъгълник.
(2) Успоредните прави не могат да съдържат страни на един и същ триъгълник. Никои две прави нямат равни наклони, следователно никои две прави не са успоредни помежду си, следователно всеки две от дадените прави са пресекателни и триъгълникът съществува.
(3) Ако умножим кои да е два налкона, никога не получаваме -1, следователно никои две прави не са перпендикулярни помежду си, тоест височините им лежат на прави, различни от дадените.

220227_003.png (16.42 KiB) Прегледано 1288 пъти

Пресечната точка на правите [tex]p_{1}[/tex] и [tex]p_{2}[/tex].
Координата [tex]x[/tex] на тази точка удовлетворява равенството [tex]k_{1}x+m_{1}=k_{2}x+m_{2}[/tex]
[tex]\underbrace{-x+6=\frac{3}{5}x+\frac{14}{5}}_{5} \Leftrightarrow -5x+5.6=3x+14 \Leftrightarrow -5x-3x=14-30 \Leftrightarrow -8x=-16 \Leftrightarrow x=2[/tex]
Замествам във функцията на една от правите за да получа [tex]y[/tex]: [tex]y=-x+6=4[/tex]
Пресечната точка [tex]A[/tex] на правите [tex]p_{1}[/tex] и [tex]p_{2}[/tex] e [tex]A(2;4)[/tex].

Пресечната точка на правите [tex]p_{2}[/tex] и [tex]p_{3}[/tex].
Координата [tex]x[/tex] на тази точка удовлетворява равенството [tex]k_{2}x+m_{2}=k_{3}x+m_{3}[/tex]
[tex]\underbrace{\frac{3}{5}x+\frac{14}{5}=\frac{5}{3}x-\frac{14}{3}}_{15} \Leftrightarrow 3.3x+3.14=5.5x-5.14 \Leftrightarrow 9x-25x=-70-42 \Leftrightarrow -16x=-112 \Leftrightarrow x=7[/tex]
Замествам във функцията на една от правите за да получа [tex]y[/tex]: [tex]y=\frac{3}{5}x+\frac{14}{5}=\frac{3.7+14}{5}=\frac{35}{5}=7[/tex]
Пресечната точка [tex]C[/tex] на правите [tex]p_{2}[/tex] и [tex]p_{3}[/tex] e [tex]C(7;7)[/tex].

Пресечната точка на правите [tex]p_{1}[/tex] и [tex]p_{3}[/tex].
Координата [tex]x[/tex] на тази точка удовлетворява равенството [tex]k_{1}x+m_{1}=k_{3}x+m_{3}[/tex]
[tex]\underbrace{-x+6=\frac{5}{3}x-\frac{14}{3}}_{3} \Leftrightarrow -3x+3.6=5x-14 \Leftrightarrow -3x-5x=-14-18 \Leftrightarrow -8x=-32 \Leftrightarrow x=4[/tex]
Замествам във функцията на една от правите за да получа [tex]y[/tex]: [tex]y=-x+6=2[/tex]
Пресечната точка [tex]B[/tex] на правите [tex]p_{1}[/tex] и [tex]p_{3}[/tex] e [tex]B(4;2)[/tex].

Сега да намерим всяка от височините. За всяка от тях знаем, че правата й минава през един от върховете и е перпендикулярна на срещулежащата страна.

Нека правата на височината [tex]h_{a}[/tex] има вида [tex]h_{a}: y=k_{a}x+m_{a}[/tex].
Tочката [tex]A[/tex] е пресечната точка на правите [tex]p_{1}[/tex] и [tex]p_{2}[/tex], следователно [tex]h_{a}[/tex] е перпендикулярна на правата [tex]p_{3}[/tex]. От теорията по горе ще получим:
[tex]k_{a}=-\frac{1}{k_{3}} \Rightarrow k_{a}=-\frac{3}{5}[/tex]
Понеже точката [tex]A(2;4)[/tex] принадлежи на [tex]h_{a}[/tex], то [tex]y_{A}=k_{a}x_{A}+m_{a} \Rightarrow 4=\left( -\frac{3}{5} \right).2+m_{a} \Leftrightarrow m_{a}=\underbrace{4+\frac{6}{5}}_{5}=\frac{26}{5}[/tex].
Уравнението за правата на височината [tex]h_{a}[/tex] има вида [tex]h_{a}: y=-\frac{3}{5}x+\frac{26}{5}[/tex].

Нека правата на височината [tex]h_{b}[/tex] има вида [tex]h_{b}: y=k_{b}x+m_{b}[/tex].
Tочката [tex]B[/tex] е пресечната точка на правите [tex]p_{1}[/tex] и [tex]p_{3}[/tex], следователно [tex]h_{a}[/tex] е перпендикулярна на правата [tex]p_{2}[/tex]. От теорията по горе ще получим:
[tex]k_{b}=-\frac{1}{k_{2}} \Rightarrow k_{a}=-\frac{5}{3}[/tex]
Понеже точката [tex]B(4;2)[/tex] принадлежи на [tex]h_{b}[/tex], то [tex]y_{B}=k_{b}x_{B}+m_{b} \Rightarrow 2=\left( -\frac{5}{3} \right).4+m_{b} \Leftrightarrow m_{b}=\underbrace{2+\frac{20}{3}}_{3}=\frac{26}{3}[/tex].
Уравнението за правата на височината [tex]h_{b}[/tex] има вида [tex]h_{b}: y=-\frac{5}{3}x+\frac{26}{3}[/tex].

Нека правата на височината [tex]h_{c}[/tex] има вида [tex]h_{c}: y=k_{c}x+m_{c}[/tex].
Tочката [tex]B[/tex] е пресечната точка на правите [tex]p_{2}[/tex] и [tex]p_{3}[/tex], следователно [tex]h_{c}[/tex] е перпендикулярна на правата [tex]p_{1}[/tex]. От теорията по горе ще получим:
[tex]k_{c}=-\frac{1}{k_{1}} \Rightarrow k_{c}=1[/tex]
Понеже точката [tex]C(7;7)[/tex] принадлежи на [tex]h_{c}[/tex], то [tex]y_{c}=k_{c}x_{C}+m_{c} \Rightarrow 7=1.7+m_{c} \Leftrightarrow m_{c}=7-7=0[/tex].
Уравнението за правата на височината [tex]h_{c}[/tex] има вида [tex]h_{c}: y=x[/tex]. (за сведение това е ъглополовящата на първи квадрант на координатната система).

Уравненията на трите прави могат да се запишат и в нормален вид като:
[tex]h_{a}: y=-\frac{3}{5}x+\frac{26}{5} \Rightarrow \underbrace{-\frac{3}{5}x+\frac{26}{5}-y=0}_{5} \Rightarrow h_{a}: -3x-5y+26=0[/tex].

[tex]h_{b}: y=-\frac{5}{3}x+\frac{26}{3} \Rightarrow \underbrace{-\frac{5}{3}x+\frac{26}{3}-y=0}_{3} \Rightarrow h_{b}: -5x-3y+26=0[/tex].

[tex]h_{c}: y=x \Rightarrow h_{c}: x-y=0[/tex]