Вписан четириъгълник

[Гост]

ABCD e вписан, а P и Q са симетрични на C спрямо АB и АD. Докажете, че правата PQ минава през ортоцентъра на АBD.

[Гост]

пак с комплексни числа

[Гост]

първо да онагледим

pqh.PNG (29.6 KiB) Прегледано 984 пъти

[Гост]

[tex]|z|=1 \Rightarrow \overline{z}=1/z \Rightarrow \frac{1}{2}(a+b+c -ab/c)=(p+c)/2 \Rightarrow p=a+b-ab/c[/tex]
[tex]\frac{1}{2}(a+d+c -ad/c)=(q+c)/2 \Rightarrow q=a+d-ad/c[/tex]
[tex]h=a+b+d \Rightarrow \frac{p-h}{ \overline{p}- \overline{h} }= \frac{a+b-ab/c-a-b-d}{ \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}- \frac{c}{ab}- \frac{1}{a}- \frac{1}{b}- \frac{1}{d} }= \frac{abd}{c}= \frac{q-h}{ \overline{q}- \overline{h} }_ {Q.E.D. }[/tex]