2 задачи от изпит

[silvan4eto]

Здравейте,ще съм ви много благодарна ако ми помогнете с решаването на 2 задачи от изпита по геометрия.Ето ги и тях

ag2.jpg (29.36 KiB) Прегледано 885 пъти

[silvan4eto]

или може ли да ме упътите как да ги реша

[Anubis]

Зад. 2. Търсената права е пресечница на равнината през [tex]A[/tex] и [tex]m[/tex] и равнината през [tex]A[/tex] и [tex]n[/tex].

Първо намираме скаларните параметрични уравнения на правата [tex]m[/tex].

[tex]\begin{array}{||} 2x-y-7=0 \\ 2y-z+2=0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||} y = 2x - 7 \\ z = 2y + 2 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||} y = 2x - 7 \\ z = 2 ( 2x - 7 ) + 2 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||} y = 2x - 7 \\ z = 4x - 12 \end{array}[/tex]

Полагаме [tex]x = s[/tex] и получаваме трите скаларни параметрични уравнения —

[tex]m: \, \begin{array} x = s \\ y = 2s - 7 \\ z = 4s - 12 \end{array}[/tex].

Понеже равнината [tex]\alpha[/tex] ще минава през правата [tex]m[/tex], тя ще е компланарна с колинеарен с правата вектор, например

[tex]p(1; \, 2; \, 4)[/tex], и ще минава през произволна точка от правата, например [tex]K(0; \, -7; \, -12)[/tex]. Понеже равнината съдържа

и точката [tex]A(1; \, 1; \, 1)[/tex], то векторът [tex]AK(-1; \, -8; \, -13)[/tex] също е компланарен с нея. Така [tex]\alpha[/tex] се определя с точката

[tex]A(1; \, 1; \, 1)[/tex] и двата вектора [tex]p(1; \, 2; \, 4)[/tex] и [tex]AK(-1; \, -8; \, -13)[/tex]. Така нейното уравнение ще е

[tex]\alpha: \, \left | x-1 \, \, y-1 \, \, z-1 \\ -1 \, \, \, \, -8 \, \, \, \, -13 \\ 1 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 2 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 4 \right |=0 \Leftrightarrow \alpha: \, 2x+3y-2z-3=0 \, (1)[/tex].

За втората равнина [tex]\beta[/tex] е същото — тя е компланарна с вектора [tex]q(3; \, 0; \, -5)[/tex], колинеарен с [tex]n[/tex], минава през

[tex]A(1; \, 1; \, 1)[/tex] и съдържа вектора [tex]AM(0; \, -2; \, -2)[/tex], където [tex]M(1; \, -1; \, -1) \in n[/tex]. Нейното общо уравнение е

[tex]\beta: \, 5x-3y+3z-5=0 \, (2)[/tex].

От [tex](1)[/tex] и [tex](2)[/tex] написваме двойка уравнения на трансверзалата — [tex]t: \, \begin{array} 2x+3y-2z-3=0 \\ 5x-3y+5z-5=0 \end{array}[/tex].

За да намерим разстоянието от точката [tex]B[/tex] до правата [tex]m[/tex], проектираме [tex]B[/tex] ортогонално върху [tex]m[/tex] и нека тази

проекция е [tex]B_{0}[/tex]. Търсеното разстояние е равно на дължината на вектора [tex]BB_{0}[/tex], т. е. на [tex]\left | BB_{0} \right |[/tex]. Понеже

[tex]B_{0} \in m[/tex], то [tex]B_{0} \left ( s; \, 2s-7; \, 4s-12\right )[/tex] и [tex]BB_{0} \left ( s+2; \, 2s-4; \, 4s-9 \right )[/tex].

От друга страна, [tex]BB_{0} \bot m[/tex], в частност [tex]BB_{0}[/tex] е перпендикулярен на колинеарен с [tex]m[/tex] вектор — [tex]p(1; \, 2; \, 4)[/tex].

Оттук скаларното произведение на двата вектора е нула — или [tex]BB_{0}.p=0 \Leftrightarrow s+2+2(2s-4)+4(4s-9)=0[/tex].

Следователно [tex]s=2[/tex] и [tex]BB_{0} (4; \, 0; \, -1)[/tex]. Най-после [tex]\operatorname{d} \left ( B; \, m \right ) = \left | BB_{0} \right | = \sqrt{17}[/tex].

[ritter]

Защо са такива координатите на S0??

[ritter]

Някой може ли да ми обясни как се решава как се решава израза (a х b) x (b x c)?

Има ли идеи за зад. 1???