Разстояние от точка до права в пространството

[Гост]

Здравейте, изпитвам затруднение със следното условие: Намерете разстоянието от точка P(1, 0, 1) до правата l : x−2/1 = y-5/2 = z/2 и ортогонално-симетричната точка на P от-
носно l. Първата мисъл, която ми хрумва, е да направя нормален вектор от дадената права, но според лекциите такъв в пространството не съществува. Започнах да разсъждавам как бих могъл да направя равнина, от която да започвам, но дали да е перпендикулярна, успоредна... и в момента съм в задънена улица. Затова бих се радвал на Вашите насоки.

[peyo]

Здравейте, изпитвам затруднение със следното условие: Намерете разстоянието от точка P(1, 0, 1) до правата l : x−2/1 = y-5/2 = z/2 и ортогонално-симетричната точка на P от-
носно l. Първата мисъл, която ми хрумва, е да направя нормален вектор от дадената права, но според лекциите такъв в пространството не съществува. Започнах да разсъждавам как бих могъл да направя равнина, от която да започвам, но дали да е перпендикулярна, успоредна... и в момента съм в задънена улица. Затова бих се радвал на Вашите насоки.

Разстоянието от точка до права това е най-малкото растояние от точката до някаква точка от правата. Тогава вероятно можем да намерим някакъв минимум с производни.

Да напишем правата в параметричен вид:
$x−2/1 = y-5/2 = z/2 = t$
$x−2/1 = t$
$y-5/2 = t$
$z/2 = t$

$x= t+2$
$y = t + 5/2$
$z = 2t$

$R = \sqrt{(x-1)^2 + (y-0)^2+ (z-1)^2} $

$R^2(t) = (t+2-1)^2 + ( t + 5/2)^2 + (2t-1)^2$

И сега да намерим производната и после да е решим когато е 0.

In [294]: var("t")
Out[294]: t

In [295]: R_2 = (t+2-1)**2 + ( t + 5/2)**2 + (2*t-1)**2

In [296]: diff(R_2)
Out[296]: 12*t + 3.0

In [297]: solve(diff(R_2))
Out[297]: [-0.250000000000000]

In [299]: plot(sqrt(R_2),(t,-1,1))
Out[299]: <sympy.plotting.plot.Plot at 0x1e8ec2c0080>