Ъгъл между прави в пирамида

[Гост]

Основата ABCD на пирамидата ABCDM е квадрат. За ръбовете е изпълнено MD[tex]\bot[/tex]AD и MD[tex]\bot[/tex]CD. Точка P е среда на BD. Намерете мярката на ъгъла между правите MP и AC.

[ammornil]

Основата ABCD на пирамидата ABCDM е квадрат. За ръбовете е изпълнено MD[tex]\bot[/tex]AD и MD[tex]\bot[/tex]CD. Точка P е среда на BD. Намерете мярката на ъгъла между правите MP и AC.

IMG_20230209_085602.jpg (495.56 KiB) Прегледано 988 пъти

Околният ръб [tex]MD[/tex] е перпендикулярен на две пресекатлени прави в основата, следователно е перпендикулярен на цялата основа, следователно е височината на пирамидата.
Нека [tex]AB=BC=CD=AD=a, MD=H \Rightarrow AC=BD=a\sqrt{2}[/tex]
[tex]ABCD -\text{ квадрат } \Rightarrow AC \cap BD = P, AP=BP=CP=DP=\frac{a\sqrt{2}}{2}[/tex]

[tex]\triangle PDM, \angle PDM=90 ^\circ \Rightarrow MP^{2}=MD^{2}+DP^{2} \Leftrightarrow MP^{2}=H^{2}+\frac{a^{2}}{2} \Rightarrow MP = \sqrt{H^{2}+\frac{a^{2}}{2}}[/tex]

[tex]\triangle CDM, \angle CDM=90 ^\circ \Rightarrow MC^{2}=MD^{2}+DC^{2} \Leftrightarrow MC^{2}=H^{2}+a^{2} \Rightarrow MC = \sqrt{H^{2}+a^{2}}[/tex]

[tex]\triangle CPM, \text{ Косинусова теорема } \rightarrow MC^{2}=MP^{2}+CP^{2}-2\cdot MP \cdot CP \cdot \cos{\angle{MPC}} \Rightarrow \cos{\angle{MPC}} = \frac{MC^{2}-MP^{2}-CP^{2}}{2\cdot MP \cdot CP}[/tex]

[tex]\Rightarrow \cos{\angle{MPC}} = \frac{H^{2}+a^{2}-H^{2}-\frac{a^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{2}}{2\cdot \sqrt{H^{2}+\frac{a^{2}}{2}} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}}=0 \Rightarrow \angle{MPC} = 90 ^\circ[/tex]