Пирамида

[Гост]

Основата ABCD на пирамида ABCDM е успоредник, за който AB=6 и [tex]\angle[/tex]ADC>90°. Ръбът DM е перпендикулярен на основата, а ъгълът между равнините (ABM) и (ABC) е 45°. Намерете обема на пирамидата, ако [tex]S_{ \triangle ABM }[/tex]=12.

[S.B.]

Основата ABCD на пирамида ABCDM е успоредник, за който AB=6 и [tex]\angle[/tex]ADC>90°. Ръбът DM е перпендикулярен на основата, а ъгълът между равнините (ABM) и (ABC) е 45°. Намерете обема на пирамидата, ако [tex]S_{ \triangle ABM }[/tex]=12.

Без заглавие - 2023-04-25T135420.999.png (272.39 KiB) Прегледано 977 пъти

Построявам [tex]DK \bot AB[/tex] , $DK$ е ортогоналната проекция на $MK$
[tex]DK \bot AB \Rightarrow MK \bot AB[/tex]( по теоремата за трите перпендикуляра)
[tex]S_{ABM } = \frac{AB.MK}{2} \Leftrightarrow 12 = \frac{6.MK}{2} \Rightarrow MK = 4[/tex]
[tex]\triangle MKD[/tex] е равнобедрен, правоъгълен [tex]\Rightarrow DK = DM[/tex]
[tex]\frac{MD}{MK} = \sin 45 ^\circ \Leftrightarrow \frac{MD}{4} = \frac{ \sqrt{2} }{2} \Rightarrow MD= DK = 2 \sqrt{2}[/tex]
[tex]S_{ABCD } = AB.DK = 6.2 \sqrt{2} \Rightarrow S_{ABCD } = 12 \sqrt{2}[/tex]
[tex]V_{ABCDM } = \frac{ S_{ABCD }.DM }{3} = \frac{12 \sqrt{2} .2 \sqrt{2} }{3}[/tex]
$$\Rightarrow V_{ABCDM } = 16 $$