Уравнение на окръжност чрез допирателни

[Какаши Сенсей]

Дадена е окръжност, която минава през т.А(1, 1) и се допира до правите д1: 7х + у -3 =0 и д2 х + 7у -3 = 0

също, знаете ли формула за намиране на допирателна, освен тази с производната?

[grav]

Окръжност и права се допират ако системата уравнения има единствено решение.

[tex](x-a)^2+(y-b)^2=R^2[/tex]
[tex]Ax+By+C=0[/tex]

Като решиш второто за [tex]x[/tex] или [tex]y[/tex] и заместиш в първото, полученото квадратно трябва да има единствено решение т.е. дискриминантата да е равна на нула.

[Какаши Сенсей]

Прощавайте, но не мога да ви разбера. Бихте ли дал по-точно решение. Благодаря!

Например аз не разбирам следното, ще изразим х чрез у, но има а, b и r които са неизвестни?

[peyo]

Дадена е окръжност, която минава през т.А(1, 1) и се допира до правите д1: 7х + у -3 =0 и д2 х + 7у -3 = 0

също, знаете ли формула за намиране на допирателна, освен тази с производната?

Търсим окръжноста на която центъра (x_r, y_r, r), се намира на равно разстояние от 2-те прави и точката.

abs((7*х_r + у_r -3)/sqrt(7**2+1**2))= r
abs((х_r + 7*у_r -3)/sqrt(1**2+7**2)) = r
(x_r-1)**2 + (y_r-1)**2 = r**2

Трудно се решават уравнения с модул, затова първите 2 ще вдигнем на квадрат и ще ползваме sympy.

Код: Избери целия код

from sympy import *

var("x_r,y_r,r")

S = solve( [((7*x_r + y_r -3)/sqrt(7**2+1**2))**2 - r**2,
((x_r + 7*y_r -3)/sqrt(1**2+7**2))**2 - r**2,
(x_r-1)**2 + (y_r-1)**2 - r**2])

for s in S:
   print("$",latex(s),"$")

$ \left\{ r : - \frac{5 \sqrt{2}}{2}, \ x_{r} : \frac{7}{2}, \ y_{r} : \frac{7}{2}\right\} $
$ \left\{ r : - \frac{5 \sqrt{2}}{18}, \ x_{r} : \frac{13}{18}, \ y_{r} : \frac{13}{18}\right\} $
$ \left\{ r : \frac{5 \sqrt{2}}{18}, \ x_{r} : \frac{13}{18}, \ y_{r} : \frac{13}{18}\right\} $
$ \left\{ r : \frac{5 \sqrt{2}}{2}, \ x_{r} : \frac{7}{2}, \ y_{r} : \frac{7}{2}\right\} $
$ \left\{ r : - \frac{15 \sqrt{2} i}{32}, \ x_{r} : \frac{3}{8} - \frac{25 i}{32}, \ y_{r} : \frac{3}{8} + \frac{25 i}{32}\right\} $
$ \left\{ r : - \frac{15 \sqrt{2} i}{32}, \ x_{r} : \frac{3}{8} + \frac{25 i}{32}, \ y_{r} : \frac{3}{8} - \frac{25 i}{32}\right\} $
$ \left\{ r : \frac{15 \sqrt{2} i}{32}, \ x_{r} : \frac{3}{8} - \frac{25 i}{32}, \ y_{r} : \frac{3}{8} + \frac{25 i}{32}\right\} $
$ \left\{ r : \frac{15 \sqrt{2} i}{32}, \ x_{r} : \frac{3}{8} + \frac{25 i}{32}, \ y_{r} : \frac{3}{8} - \frac{25 i}{32}\right\} $

Получихме 8 решения, но последните 4 имат комплексни стойности, значи не стават. Първите 2 пък имат отрицателен радиус и те не стават. Значи остават валидни 2 решения:

$ \left\{ r : \frac{5 \sqrt{2}}{18}, \ x_{r} : \frac{13}{18}, \ y_{r} : \frac{13}{18}\right\} $
$ \left\{ r : \frac{5 \sqrt{2}}{2}, \ x_{r} : \frac{7}{2}, \ y_{r} : \frac{7}{2}\right\} $

[peyo]

Дадена е окръжност, която минава през т.А(1, 1) и се допира до правите д1: 7х + у -3 =0 и д2 х + 7у -3 = 0

също, знаете ли формула за намиране на допирателна, освен тази с производната?

Търсим окръжноста на която центъра (x_r, y_r, r), се намира на равно разстояние от 2-те прави и точката.

abs((7*х_r + у_r -3)/sqrt(7**2+1**2))= r
abs((х_r + 7*у_r -3)/sqrt(1**2+7**2)) = r
(x_r-1)**2 + (y_r-1)**2 = r**2

Трудно се решават уравнения с модул, затова първите 2 ще вдигнем на квадрат и ще ползваме sympy.

Има начин значително да намалим сложността на системата и да не вдигаме на квадрат, но трябва да елиминираме модула. За тази цел ще използваме малко известното свойство на това, че разстоянията до правите имат знак. И точки от една и съща страна на правата имат един и същи знак. И ще забележим, че точката А и центъра на окръжността имат един и същи знак. Да намерим знака на точка А!:

In [32]: 7*1 + 1 -3
Out[32]: 5

In [33]: 1 + 7*1 -3
Out[33]: 5

Знака е + както до д1, така и до д2. Тогава системата става:

(7*х_r + у_r -3)/sqrt(7**2+1**2)= r
(х_r + 7*у_r -3)/sqrt(1**2+7**2) = r
(x_r-1)**2 + (y_r-1)**2 = r**2

Или

Код: Избери целия код

from sympy import *

var("x_r,y_r,r")

S = solve( [(7*x_r + y_r -3)/sqrt(7**2+1**2) - r,
(x_r + 7*y_r -3)/sqrt(1**2+7**2) - r,
(x_r-1)**2 + (y_r-1)**2 - r**2])

for s in S:
   print("$",latex(s),"$")

$ \left\{ r : \frac{5 \sqrt{2}}{18}, \ x_{r} : \frac{13}{18}, \ y_{r} : \frac{13}{18}\right\} $
$ \left\{ r : \frac{5 \sqrt{2}}{2}, \ x_{r} : \frac{7}{2}, \ y_{r} : \frac{7}{2}\right\} $

Едно доста по-лесно решение мисля, но трябваше мислим повече...

[ammornil]

Прощавайте, но не мога да ви разбера. Бихте ли дал по-точно решение. Благодаря!

Например аз не разбирам следното, ще изразим х чрез у, но има а, b и r които са неизвестни?

Screenshot 2023-04-28 094004.png (16.55 KiB) Прегледано 1169 пъти

[tex]k(O;R), O(x_{O}; y_{O}) \Rightarrow \forall M(x_{M}, y_{M}) \in k \rightarrow (x_{M}-x_{O})^{2} + (y_{M}-y_{O})^{2}=R^{2}[/tex]

[tex]\because A(1;1) \in k(O;R) \Rightarrow (1-x_{O})^{2} + (1-y_{O})^{2}=R^{2}[/tex]

[tex]d_{1}: 7x+y-3=0, \begin{cases} \because D_{1}(x_{1}, y_{1}) \in d_{1} \Rightarrow 7x_{1}+y_{1}-3=0 \\ \because D_{1}(x_{1}, y_{1}) \in k(O;R) \Rightarrow (x_{1}-x_{O})^{2} + (y_{1}-y_{O})^{2}=R^{2}\end{cases}[/tex]

[tex]d_{2}: x+7y-3=0, \begin{cases} \because D_{2}(x_{2}, y_{2}) \in d_{2} \Rightarrow x_{2}+7y_{2}-3=0 \\ \because D_{2}(x_{2}, y_{2}) \in k(O;R) \Rightarrow (x_{2}-x_{O})^{2} + (y_{2}-y_{O})^{2}=R^{2}\end{cases}[/tex]

[tex]d_{1} \cap d_{2} = F(x_{F};y_{F}) \Rightarrow \begin{array}{|l} 7x_{F}+y_{F}-3=0 \\ x_{F}+7y_{F}-3=0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 7x_{F}+y_{F}-3=0 \\ -48x_{F}+18=0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x_{F}=\frac{3}{8} \\ y_{F}=x_{F}=\frac{3}{8} \end{array}[/tex]

[tex]\begin{cases} D_{1}F=\sqrt{(x_{1}-x_{F})^{2}+(y_{1}-y_{F})^{2}}=\sqrt{(x_{1}-\frac{9}{64})^{2}+(y_{1}-\frac{9}{64})^{2}} \\ D_{2}F=\sqrt{(x_{2}-x_{F})^{2}+(y_{2}-y_{F})^{2}}=\sqrt{(x_{2}-\frac{9}{64})^{2}+(y_{2}-\frac{9}{64})^{2}} \end{cases} \Rightarrow (x_{1}-\frac{9}{64})^{2}+(y_{1}-\frac{9}{64})^{2}=(x_{2}-\frac{9}{64})^{2}+(y_{2}-\frac{9}{64})^{2}[/tex]

уравнение на ъглополовящата между правите [tex]d_{1}[/tex] и [tex]d_{2}[/tex]: [tex]\frac{7x_{O}+y_{O}-3}{\sqrt{7^{2}+1^{2}}}=\frac{x_{O}+7y_{O}-3}{\sqrt{1^{2}+7^{2}}} \rightarrow 7x_{O}+y_{O}=x_{O}+7y_{O}[/tex]


7 уравнения, 7 неизвестни, дерзайте...
[tex]\begin{array}{|l} (1-x_{O})^{2} + (1-y_{O})^{2}=R^{2} \\ 7x_{1}+y_{1}-3=0 \\ (x_{1}-x_{O})^{2} + (y_{1}-y_{O})^{2}=R^{2} \\ x_{2}+7y_{2}-3=0 \\ (x_{2}-x_{O})^{2} + (y_{2}-y_{O})^{2}=R^{2} \\ (x_{1}-\frac{9}{64})^{2}+(y_{1}-\frac{9}{64})^{2}=(x_{2}-\frac{9}{64})^{2}+(y_{2}-\frac{9}{64})^{2} \\ 7x_{O}+y_{O}=x_{O}+7y_{O} \end{array}[/tex]

[peyo]

...
$ \left\{ r : \frac{5 \sqrt{2}}{18}, \ x_{r} : \frac{13}{18}, \ y_{r} : \frac{13}{18}\right\} $
$ \left\{ r : \frac{5 \sqrt{2}}{2}, \ x_{r} : \frac{7}{2}, \ y_{r} : \frac{7}{2}\right\} $
...

Да го начертаем:
https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+7x%2By-3%3D0%2C+x%2B7y-3%3D0%2C+%28x-13%2F18%29%5E2%2B%28y-13%2F18%29%5E2%3D%285sqr%282%29%2F18%29%5E2%2C+%28x-7%2F2%29%5E2%2B%28y-7%2F2%29%5E2%3D%285sqr%282%29%2F2%29%5E2

dopokr3423.png (92.75 KiB) Прегледано 1156 пъти

лоокс гоод!

[ammornil]

Забелязах, че грешно съм заместил координатите на пресечната точка на двере прави. Правилната система е:

7 уравнения, 7 неизвестни, дерзайте...
[tex]\begin{array}{|l} (1-x_{O})^{2} + (1-y_{O})^{2}=R^{2} \\ 7x_{1}+y_{1}-3=0 \\ (x_{1}-x_{O})^{2} + (y_{1}-y_{O})^{2}=R^{2} \\ x_{2}+7y_{2}-3=0 \\ (x_{2}-x_{O})^{2} + (y_{2}-y_{O})^{2}=R^{2} \\ (x_{1}-\frac{3}{8})^{2}+(y_{1}-\frac{3}{8})^{2}=(x_{2}-\frac{3}{8})^{2}+(y_{2}-\frac{3}{8})^{2} \\ 7x_{O}+y_{O}=x_{O}+7y_{O} \end{array}[/tex]

[Какаши Сенсей]

Да, речем, че тази задача е дадена на тест или някое състезание? Има ли някъв метод чрез, който да се реши тази система?
По-скоро така да кажем, някой трик с който да се съкратят многото смятания? Е, нали сега без компютър?

[ammornil]

Да, речем, че тази задача е дадена на тест или някое състезание? Има ли някъв метод чрез, който да се реши тази система?
По-скоро така да кажем, някой трик с който да се съкратят многото смятания? Е, нали сега без компютър?

Аз не се сещам. От последното уравнение се вижда че абсцисата и ординатата на центъра на окръжността са равни, но самата окръжност въвежда доста смесени произведения, освен ако някой не вижда полагане, което да замести две или повече неизвестни с едно...