Прав кръгов пресечен конус

[Гост]

Периметърът на осно сечение на прав кръгов пресечен конус е 26cm. Сечение, успоредно на основите на пресечения конус, което разполовява височината, има обиколка 9[tex]\pi[/tex]см. Намерете обема на пресечния конус, ако синусът на ъгъла, който образуващата сключва с основата е [tex]\frac{3}{4}[/tex].

[S.B.]

Периметърът на осно сечение на прав кръгов пресечен конус е 26cm. Сечение, успоредно на основите на пресечения конус, което разполовява височината, има обиколка 9[tex]\pi[/tex]см. Намерете обема на пресечния конус, ако синусът на ъгъла, който образуващата сключва с основата е [tex]\frac{3}{4}[/tex].

Без заглавие - 2023-05-27T111107.089.png (240.54 KiB) Прегледано 1166 пъти

$$V = \frac{1}{3} \pi h( r_{1 } ^{2 } + r_{2 } ^{2 } + r_{1 } r_{2 })$$
Равнобедреният трапец $ABCD$ е осното сечение на правият кръгов пресечен конус.
[tex]AB = 2 r_{1 } , CD = 2 r_{2 } , MN = 2r , AD = BC = l , CH \bot AB , H \in AB,CH = h[/tex],където
[tex]r_{1 }[/tex] е радиус на долната основа, [tex]r_{2 }[/tex] е радиус на горната основа, а $r$ е радиус на сечението,разполовяващо височината.
[tex]CH \cap MN = P , CP = PH = \frac{1}{2}h \Rightarrow MN[/tex] е средна отсечка.
[tex]MN = \frac{AB + CD}{2} \Leftrightarrow 2r = \frac{2 r_{1 } + 2 r_{2 } }{2} \Rightarrow 2r = r_{1 } + r_{2 }[/tex]
По условие обиколката на сечението разполовяващо височината е [tex]=9 \pi[/tex]
[tex]\Rightarrow2 \pi r = 9 \pi \Rightarrow 2r = 9[/tex]
$$\Rightarrow r_{1 } + r_{2 } = 9$$
[tex]P_{ABCD } = AB + CD + 2AC \Leftrightarrow 2 r_{1 } + 2 r_{2 } + 2l = 26 \Leftrightarrow r_{1 }+ r_{2 } + l = 13 \Leftrightarrow 9 + l = 13[/tex]
$$\Rightarrow l = 4$$
От [tex]\triangle HBC \rightarrow \frac{HC}{BC} = \sin \alpha \Leftrightarrow \frac{h}{l} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \frac{h}{4} = \frac{3}{4}[/tex]
$$\Rightarrow h = 3$$
За [tex]\triangle HBC[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]HB^{2 } = BC^{2 } - HC^{2 } \Leftrightarrow HB^{2 } = l^{2 } - h^{2 } \Leftrightarrow HB^{2 } = 16 - 9 \Rightarrow HB^{2 } = 7 \Rightarrow HB = \sqrt{7}[/tex]
[tex]HB = \frac{AB - CD}{2} \Leftrightarrow \sqrt{7} = \frac{2 r_{1 }- 2 r_{2 } }{2} \Leftrightarrow \sqrt{7} = r_{1 } - r_{2 }[/tex]
$$\Rightarrow r_{1 } - r_{2 } = \sqrt{7} $$
Образувам системата:
[tex]\begin{array}{|l} r_{1 } + r_{2 } = 9 \\ r_{1 } - r_{2 } = \sqrt{7} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} r_{1 } ^{2 } + 2 r_{1 } r_{2 } + r_{2 } ^{2 } = 81 \\ r_{1 } ^{2 } - 2 r_{1 } r_{2 } + r_{2 } ^{2 } = 7\end{array}[/tex]

Чрез почленно събиране получавам :[tex]r_{1 } ^{2 } + r_{2} ^{2 } = 44[/tex]
Чрез почленно изваждане получавам :[tex]r_{1 } r_{1 } = \frac{74}{4} = 18,5[/tex]
Замествам във формулата за обем:
[tex]V = \frac{1}{3} \pi h( r_{1 } ^{2 } + r_{2 } ^{2 } + r_{1 } r_{2 }) = \frac{1}{3} \pi.3(44 + 18,5)[/tex]
$$\Rightarrow V = 62,5 \pi $$