Задача от аналитична геометрия

[Гост]

Добро утро, някой дали би могъл да помогне със следната задача?
Крайните точки на една отсечка имат абсциси 11 и -15, а средата ѝ лежи на правата p:5x+3y=29. Напишете уравнението на права, която минава през средата на отсечката и е перпендикулярна на дадената права p. Определете лицето на триъгълника, образуван от координатните оси и получената права.

[ammornil]

Добро утро, някой дали би могъл да помогне със следната задача?
Крайните точки на една отсечка имат абсциси 11 и -15, а средата ѝ лежи на правата p:5x+3y=29. Напишете уравнението на права, която минава през средата на отсечката и е перпендикулярна на дадената права p. Определете лицето на триъгълника, образуван от координатните оси и получената права.

[tex]A(11; y_{A}),\hspace{1em} B(-15; y_{B}),\hspace{1em} M\in AB, AM=MB , \hspace{1em} M\in p: y=-\frac{5}{3}x+\frac{29}{3}[/tex]

[tex]AM=MB \Rightarrow M(x_{M}=\frac{11+(-15)}{2}; y_{M}=\frac{ y_{A}+ y_{B}}{2}) \Leftrightarrow M(-2;\frac{ y_{A}+ y_{B}}{2})[/tex]

[tex]M \in p \Rightarrow y_{M}=-\frac{5}{3}x_{M}+\frac{29}{3}=-\frac{5}{3}\cdot{(-2)}+\frac{29}{3}=\frac{10+29}{3}=\frac{39}{3} \Rightarrow M\left(-2; 13 \right)[/tex]

[tex]q: y=m\cdot x+b \begin{cases} q\bot p \Rightarrow -\frac{5}{3}m=-1\\ M \in q \Rightarrow y_{M}=m\cdot x_{M}+b\end{cases} \Rightarrow[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} m=\frac{3}{5} \\ 13= \frac{3}{5}\cdot (-2) +b \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} m=\frac{3}{5} \\ b= 13+ \frac{6}{5} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} m=\frac{3}{5} \\ b=\frac{71}{5} \end{array} \Rightarrow[/tex]$$ q: y=\frac{3}{5}x+ \frac{71}{5} \Leftrightarrow q: 5y-3x-71=0$$

[tex]q\cap Ox = C \rightarrow y_{C}=0 \rightarrow -3x_{C}-71=0 \Rightarrow x_{C}=-\frac{71}{3} \rightarrow C(-\frac{71}{3};0)[/tex]
[tex]q\cap Oy = D \rightarrow x_{D}=0 \rightarrow 5y_{D}-71=0 \Rightarrow y_{D}=\frac{71}{5} \rightarrow D(0;\frac{71}{5})[/tex]
В общия случай:
[tex]O(0;0),C(-\frac{71}{3};0),D(0;\frac{71}{5}) \Rightarrow S_{\triangle{COD}}=\frac{1}{2}\cdot |x_{C}\cdot (y_{O} − y_{D}) + \underbrace{x_{O}\cdot (y_{D} − y_{C})}_{=0} + \underbrace{x_{D}\cdot (y_{C}− y_{O})}_{=0}|=\cdots[/tex]
И както очаквахме, понеже е правоъгълен триъгълник и единият връх е началото на координатната система:
$$S_{\triangle{COD}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{71}{3}\cdot \frac{71}{5}=\cdots$$
[tex][/tex]

Screenshot 2023-12-06 130528.png (18.14 KiB) Прегледано 1077 пъти

[tex][/tex]

Проверете сметките за изчислителни грешки, но според мен това е пътят за решение.
Във формулата за лице чрез координатите на трите точки има модул, а не външни скоби, взема се абсолютната стойност на получения в модула резултат.

[Гост]

В учебника като отговори са посочили 13х-5у+41=0; 1681/130

[Гост]

Как стигаме до тази формула за лице?

[ammornil]

Как стигаме до тази формула за лице?

Коя формула?

[Гост]

S
△COD
​
=
2
1
​
⋅∣x
C
​
⋅(y
O
​
−y
D
​
)+
=0
x
O
​
⋅(y
D
​
−y
C
​
)
​

​
+
=0
x
D
​
⋅(y
C
​
−y
O
​
)
​

​
∣=⋯

[Гост]

Извинявавам се, не се е копирала правилно, но имам предвид формула за лице на COD

[ammornil]

Извинявавам се, не се е копирала правилно, но имам предвид формула за лице на COD

за всеки триъгълник с върхове [tex]A(x_{A};y_{A}), B(x_{B};y_{B}), C(x_{C};y_{C})[/tex] е в сила равенството: [tex]S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot \begin{vmatrix} x_{A}\cdot (y_{B}-y_{C}) + x_{B}\cdot (y_{C}-y_{A}) + x_{C}\cdot (y_{A}-y_{B}) \end{vmatrix}[/tex]

За кое ниво на обучение е дадена задачата? Може би предпочитате детерминантен запис: [tex]S_{ABC}=\pm\frac{1}{2}\cdot \begin{vmatrix} x_{A} & y_{A} & 1 \\ x_{B} & y_{B} & 1 \\ x_{C} & y_{C} & 1 \end{vmatrix}[/tex]
Знакът плюс се взема, когато детерминантата има положителна стойност, а знакът минус се взема когато детерминантата има отрицателна стоийност. Развититето на детерминанта от трети ред дава:
[tex]S_{ABC}=\pm\frac{1}{2}\cdot( x_{A}\cdot y_{B}\cdot 1 + x_{B}\cdot y_{C}\cdot 1 + x_{C}\cdot y_{A}\cdot 1 - x_{C}\cdot y{B}\cdot 1 - x_{B}\cdot y_{A}\cdot 1 - x_{A}\cdot y_{C}\cdot 1 )[/tex]
Като вземем предвид горното условие за знаците, можем да запишем че: [tex]S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot | x_{A}\cdot y_{B} - x_{A}\cdot y_{C} + x_{B}\cdot y_{C} - x_{B}\cdot y_{A} + x_{C}\cdot y_{A} - x_{C}\cdot y{B} |[/tex]
Ако изнесем съответните хиксове пред скобите се получава формулата, както съм я ползвал по-горе. Доказателството/Извеждането не го помня, но във всеки учебник по ЛААГ би трябвало да го има.

[Гост]

Задачата е за 11. клас - профилирана подготовка. Нито една от формулите не сме взимали в час, липсват и в учебника, но вече с удоволствие ще ползвам първата... втората не я разбрах

[Гост]

За първото равенство трябва ли да доказвам нещо, или мога наготово да го ползвам?

[ammornil]

За първото равенство трябва ли да доказвам нещо, или мога наготово да го ползвам?

Това зависи от условията на изпита, който полагате. Ако се иска доказване на всички ползвани теореми, тогава трябва да докажете равенството. Ако Ви е позволено да ползвате теореми без да ги доказвате, тогава формулите също се ползват без доказателство (стига да са общоизвестни и верни).