Лице на фигура, ограничена от крива

[desislava_i]

Здравейте ! Моля за помощ на следната задача от снимката

[peyo]

Здравейте ! Моля за помощ на следната задача от снимката

$x=2t-t^2$
$y=2t^2-t^3$

Предполагам е грешка и са искали t да е от 0 до 2, защото там е панделката:

Screenshot 2024-02-17 194336.jpg (38.03 KiB) Прегледано 1046 пъти

Остава да намерим най-голямото x или най-голямото y, да разделим на две части, да ги интегрираме отделно и да извадим по-малкото от по-голямото.

По лесно е да намерим най-голямото x.

$x'=2-2t$
$0=2-2t$
$t=1$

[tex]S_1 = \int\limits_{0}^{1}2t^2-t^3 dt = 5/12[/tex]

[tex]S_2 = \int\limits_{1}^{2}2t^2-t^3 dt = 11/12[/tex]

$S = S_2-S_1=11/12-5/12 = 1/2$

Така като гледам на око ми се струва близо до 0.5, значи отговора ми може и да е верен.

[grav]

Лицето е равно на [tex]\frac12\oint xdy-ydx[/tex]

[desislava_i]

Лицето е равно на [tex]\frac12\oint xdy-ydx[/tex]

Дали бихте могли да ми напишете подробно задачата?
Благодаря .
По тази формула от снимката е като упътване.

[grav]

Лицето е равно на [tex]\frac12\oint xdy-ydx[/tex]

Дали бихте могли да ми напишете подробно задачата?
Благодаря .
По тази формула от снимката е като упътване.

Това дава лицето с отритцателен знак. Но прилагай директно формулата. Имаш [tex]x(t)[/tex] и [tex]y(t)[/tex].

[grav]

Излиза [tex]-\frac8{15}[/tex], защото трябва да е

[tex]-\int ydx[/tex] или [tex]\int xdy[/tex].

[peyo]

$S = S_2-S_1=11/12-5/12 = 1/2$

Така като гледам на око ми се струва близо до 0.5, значи отговора ми може и да е верен.

Не е верен. t не е линейно. Ето верния отговор 8/15 получен по един особено сложен начин:

var("x,y,t")
xt = 2*t-t**2
yt = 2*t**2-t**3

In [149]: solve(xt-x ,t)
Out[149]: [1 - sqrt(1 - x), sqrt(1 - x) + 1]

In [150]: simplify(yt.subs(t,1 + sqrt(1 - x)))
Out[150]: x*(sqrt(1 - x) + 1)

In [151]: simplify(yt.subs(t,1 - sqrt(1 - x)))
Out[151]: x*(1 - sqrt(1 - x))

In [146]: integrate.quad( lambda x: x*(sqrt(1 - x) + 1), 0,1)[0] - integrate.quad( lambda x: x*(1-sqrt(1 - x) ), 0,1)[0]
Out[146]: 0.5333333333333337

In [147]: 8/15
Out[147]: 0.5333333333333333

[grav]

$S = S_2-S_1=11/12-5/12 = 1/2$

Така като гледам на око ми се струва близо до 0.5, значи отговора ми може и да е верен.

Не е верен. t не е линейно. Ето верния отговор 8/15 получен по един особено сложен начин:

var("x,y,t")
xt = 2*t-t**2
yt = 2*t**2-t**3

In [149]: solve(xt-x ,t)
Out[149]: [1 - sqrt(1 - x), sqrt(1 - x) + 1]

In [150]: simplify(yt.subs(t,1 + sqrt(1 - x)))
Out[150]: x*(sqrt(1 - x) + 1)

In [151]: simplify(yt.subs(t,1 - sqrt(1 - x)))
Out[151]: x*(1 - sqrt(1 - x))

In [146]: integrate.quad( lambda x: x*(sqrt(1 - x) + 1), 0,1)[0] - integrate.quad( lambda x: x*(1-sqrt(1 - x) ), 0,1)[0]
Out[146]: 0.5333333333333337

In [147]: 8/15
Out[147]: 0.5333333333333333

Защо! Като всичко се смята лесно на ръка.