Интересна задача

[Гост]

Здравейте, група! Дали е възможно да ми помогнете със следната задача? Благодаря Ви предварително!
Задача: Текстът върху една страница трябва да бъде 384 квадратни сантиметра.
Горното и долното поле трябва да са по k см., а лявото и дясното – по 2 см. Ако
се вземе под внимание само икономията на хартия, какви са оптималните размери
на страницата? Да се състави и реши модел при произволно k и при k= 3.

[Гост]

И защо реши, че мястото на тази задача е във "Висша математика"?

[KOPMOPAH]

И защо реши, че мястото на тази задача е във "Висша математика"?

Правилен въпрос! За кой клас е задачата?

[Гост]

Задачата е за 11-12 клас.

[peyo]

Здравейте, група! Дали е възможно да ми помогнете със следната задача? Благодаря Ви предварително!
Задача: Текстът върху една страница трябва да бъде 384 квадратни сантиметра.
Горното и долното поле трябва да са по k см., а лявото и дясното – по 2 см. Ако
се вземе под внимание само икономията на хартия, какви са оптималните размери
на страницата? Да се състави и реши модел при произволно k и при k= 3.

Нека x e дължината на листа по x.Тогава височината по y e:
$(x-4)(y-2k)=384$
$y=384/(x-4)+2k$

A лицето:
$S = xy = x(384/(x-4)+2k)$

Това е сложно, затова ще накараме компютъра да намери прозиводната:

In [259]: print(latex(diff(S,x)))
$2 k - \frac{384 x}{\left(x - 4\right)^{2}} + \frac{384}{x - 4}$

Това прилича на уравнение което се докарва до квадратно, но пак ще накараме компютъра да го реши.

In [262]: print(latex(solve(S.diff(x),x)))
$\left[ \frac{4 \sqrt{k} - 16 \sqrt{3}}{\sqrt{k}}, \ \frac{4 \sqrt{k} + 16 \sqrt{3}}{\sqrt{k}}\right]$

Само втория отговор е положирелен и само той ни дава реалем минимум. Да видим за 3:

In [265]: solve(S.diff(x),x)[1].subs(k,3)
Out[265]: 20

In [266]: S.subs(k,3).subs(x,20)
Out[266]: 600

Лицето е 600 тогава.

Да видим малко графики.

In [268]: plot(S.subs(k,1),S.subs(k,2),S.subs(k,3),S.subs(k,4),(x,6,100))
Out[268]: <sympy.plotting.plot.Plot at 0x1805433f8d0>

Figure_licehart.png (43.91 KiB) Прегледано 905 пъти

[pal702004]

Ако размерите на "полезната" област са $x,y$, то размерите на листа, съответно лицето му е:

$S=(x+4)(y+2k)=384+2kx+4y+8k$

Пренебрегвайки константите, търсим минимума на $kx+2y$ при условие $xy=384$

$kx+2y \ge 2\sqrt{kx\cdot 2y}=32\sqrt{3k}$

При това равенството се достига при $kx=2y=16\sqrt{3k}$