Уравнение на конус с управитерна крива

[Гост]

Да се намери уравнение на конуса S с управителна крива
k:{[tex]\frac{ x^{2 } }{2}[/tex] + [tex]\frac{ y^{2 } }{4}[/tex] = 1
z = 0,
}
и връх V(1,1,1). Намерете уравнения на сечението на конуса S с равнината
γ: z =[tex]\frac{1}{2}[/tex]
и определете вида му.


Може ли да ми помогнете, ще съм ви безкрайно благодарна! И ако може да ми кажете и какво е управитерна крива.

Благодаря предварително!

[ammornil]

Бихте ли ми казали в какво учебно заведение (не кое, а какво: университет, колеж, гимназия) учите и за каква специалност се борите?

[Гост]

Бихте ли ми казали в какво учебно заведение (не кое, а какво: университет, колеж, гимназия) учите и за каква специалност се борите?

Компютърни науки в Софийския университет - ФМИ

[ammornil]

Тогава не разбирам защо не желаете да учите математика. Искрено Ви препоръчвам (като колега) да си прочетете лекциите, да научите аналитичните описания на основините стереометрични форми и после да се опитате да решите задачата.

Скрит текст: покажи

[tex]\\[/tex]

[Гост]

Тогава не разбирам защо не желаете да учите математика. Искрено Ви препоръчвам (като колега) да си прочетете лекциите, да научите аналитичните описания на основините стереометрични форми и после да се опитате да решите задачата.

Скрит текст: покажи

[tex]\\[/tex]

Точно това и направих, прегледах лекциите и каквото сме правили. Но точно това не е засягано и затова моля за помощ, някой да ми покаже как се решава, дали има някакъв алгоритъм и да мога след това и сама да решавам подобни задачи.

[ammornil]

Да се намери уравнение на конуса S с управителна крива [tex][/tex]
k:{[tex]\frac{ x^{2 } }{2}[/tex] + [tex]\frac{ y^{2 } }{4}[/tex] = 1
z = 0,}
и връх V(1,1,1). Намерете уравнения на сечението на конуса S с равнината
γ: z =[tex]\frac{1}{2}[/tex]
и определете вида му.

[tex]\\[/tex]

Screenshot 2024-05-28 160817.png (106.14 KiB) Прегледано 179 пъти

[tex]\\[/tex]

ОК. Може би някой ще даде по-добро обяснение, но ето едно от мен.

Конусът е пространсвена повърхност, получена при движението на права линия, която минава през фиксирана точка (врух на конуса) и пресича или докосва дадена фиксирана крива (водеща крива или управителна крива). Самата права се нарича генератор на конуса. Ако върхът на конусът е [tex]V(x_{V}; y_{V}; z_{V})[/tex], то връзката между точка от коничната повърхност с координати [tex](x;y;z)[/tex] и координатите на точка [tex]A(x_{A}; y_{A}; z_{A}[/tex] лежаща на уравителната крива е уравнението (канонично уравнение на конус): [tex]\left(\frac{x-x_{V}}{x_{A}-x_{V}}\right)^{2}+\left(\frac{y-y_{V}}{y_{A}-y_{V}}\right)^{2}=\left(\frac{z-z_{V}}{z_{A}-z_{V}}\right)^{2}[/tex]. Знаем координатите на върха, остава да намерим координатите на една точка от кривата за да намерим търсеното уравнение.
Кривата в дадения случай има формата [tex]\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{4}+0=1[/tex]. Това е елипса, с уравнение [tex]\frac{x^{2}}{(\sqrt{2})^{2}}+\frac{y^{2}}{2^{2}}+0=1[/tex], което ни позволява да я параметризираме, като за всяка точка [tex]A[/tex] от кривата е изпълнено [tex]x_{A}=\sqrt{2}\cdot{}\cos{\theta}, \quad y_{A}=2\cdot{}\sin{\theta}, \quad z_{A}=0, \quad \forall\theta\in[0;2\pi)[/tex].
Ако върнем в каноничното уравнение, получаваме, че: [tex]\left(\frac{x-1}{\sqrt{2}\cdot{}\cos{\theta}-1}\right)^{2}+\left(\frac{y-1}{2\cdot{}\sin{\theta}-1}\right)^{2}=\left(\frac{z-1}{0-1}\right)^{2}[/tex].
Пуснах горното през компютър (защото се омотах в квадратни уравнения със синус и косинус) и го опрости до [tex]\frac{(x-1)^{2}}{2}+\frac{(y-1)^{2}}{4}=(z-1)^{2}[/tex]

За сечнието, заместваме със [tex]z=\frac{1}{2}[/tex] в уравнението на конуса и получаваме [tex]\frac{(x-1)^{2}}{2}+\frac{(y-1)^{2}}{4}=\left(\frac{1}{2}-1\right)^{2}[/tex]
[tex]\frac{(x-1)^{2}}{2}+\frac{(y-1)^{2}}{4}=\frac{1}{4} \quad \Leftrightarrow \quad 2(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1 \sim a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=1[/tex]
Това е уравнение на елипса в равнината [tex]z=\frac{1}{2}[/tex]

[Гост]

Да се намери уравнение на конуса S с управителна крива [tex][/tex]
k:{[tex]\frac{ x^{2 } }{2}[/tex] + [tex]\frac{ y^{2 } }{4}[/tex] = 1
z = 0,}
и връх V(1,1,1). Намерете уравнения на сечението на конуса S с равнината
γ: z =[tex]\frac{1}{2}[/tex]
и определете вида му.

[tex]\\[/tex]

Screenshot 2024-05-28 160817.png

[tex]\\[/tex]

ОК. Може би някой ще даде по-добро обяснение, но ето едно от мен.

Конусът е пространсвена повърхност, получена при движението на права линия, която минава през фиксирана точка (врух на конуса) и пресича или докосва дадена фиксирана крива (водеща крива или управителна крива). Самата права се нарича генератор на конуса. Ако върхът на конусът е [tex]V(x_{V}; y_{V}; z_{V})[/tex], то връзката между точка от коничната повърхност с координати [tex](x;y;z)[/tex] и координатите на точка [tex]A(x_{A}; y_{A}; z_{A}[/tex] лежаща на уравителната крива е уравнението (канонично уравнение на конус): [tex]\left(\frac{x-x_{V}}{x_{A}-x_{V}}\right)^{2}+\left(\frac{y-y_{V}}{y_{A}-y_{V}}\right)^{2}=\left(\frac{z-z_{V}}{z_{A}-z_{V}}\right)^{2}[/tex]. Знаем координатите на върха, остава да намерим координатите на една точка от кривата за да намерим търсеното уравнение.
Кривата в дадения случай има формата [tex]\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{4}+0=1[/tex]. Това е елипса, с уравнение [tex]\frac{x^{2}}{(\sqrt{2})^{2}}+\frac{y^{2}}{2^{2}}+0=1[/tex], което ни позволява да я параметризираме, като за всяка точка [tex]A[/tex] от кривата е изпълнено [tex]x_{A}=\sqrt{2}\cdot{}\cos{\theta}, \quad y_{A}=2\cdot{}\sin{\theta}, \quad z_{A}=0, \quad \forall\theta\in[0;2\pi)[/tex].
Ако върнем в каноничното уравнение, получаваме, че: [tex]\left(\frac{x-1}{\sqrt{2}\cdot{}\cos{\theta}-1}\right)^{2}+\left(\frac{y-1}{2\cdot{}\sin{\theta}-1}\right)^{2}=\left(\frac{z-1}{0-1}\right)^{2}[/tex].
Пуснах горното през компютър (защото се омотах в квадратни уравнения със синус и косинус) и го опрости до [tex]\frac{(x-1)^{2}}{2}+\frac{(y-1)^{2}}{4}=(z-1)^{2}[/tex]

За сечнието, заместваме със [tex]z=\frac{1}{2}[/tex] в уравнението на конуса и получаваме [tex]\frac{(x-1)^{2}}{2}+\frac{(y-1)^{2}}{4}=\left(\frac{1}{2}-1\right)^{2}[/tex]
[tex]\frac{(x-1)^{2}}{2}+\frac{(y-1)^{2}}{4}=\frac{1}{4} \quad \Leftrightarrow \quad 2(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1 \sim a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=1[/tex]
Това е уравнение на елипса в равнината [tex]z=\frac{1}{2}[/tex]

Благодаря! А откъде намирате тези Xа, Ya и Za?

[ammornil]

Благодаря! А откъде намирате тези Xа, Ya и Za?

Позицията на една точка в пространството може да се зададе чрез координатите ѝ спрямо осите на координатна система или чрез дължината на вектора, който я свързва с координатното начало, наричан по-долу насочен вектор, и ъглите, които векторът сключва с координатните оси. Понеже управителната крива лежи в равнината на координатните оси [tex]Ox[/tex] и [tex]Oy[/tex] (защото [tex]z=0[/tex]), то този вектор сключва равнинни ъгли с тези оси, лежащи в същата равнина. Избрал съм ъгълът между насочения вектор и оста [tex]Ox[/tex] (може би повече по навик отколкото по някакво правило). Точките лежащи на елипсата в равнината на две координатни оси имат точно определени насочени вектори, които могат да се зададат чрез модул, равен на корен от знаменателя под съответния аргумент (x, y) и ъгъла който векторът им сключва с оста [tex]Ox[/tex]. Забележете, че това е вярно само за равнини, успоредни на равнината определена от осите [tex]Ox[/tex] и [tex]Oy[/tex]. Ако равнината на насочения вектор е "наклонена" спрямо тези оси, нещата стават по-сложни от написаното тук. За управителна крива от вида [tex]\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+0=1 \hspace{0.3em} \Rightarrow \hspace{0.3em} x_{A}=a\cdot{}\cos{\theta}, y_{A}=b\cdot{}\sin{\theta}[/tex], където [tex]\theta[/tex] е спонематият ъгъл между насочения вектор [tex]OA[/tex] и оста [tex]Ox[/tex], а [tex]A[/tex] е точка от управителната крива на конуса, която крива лежи в същата равнина като [tex]\theta[/tex]. (точката [tex]O[/tex] е координатно начало на Декартова координатна система в 3-пространство (x; y; z))