Лице на четириъгълник

[Гост]

Здравейте! Някой може ли да помогне с две задачи?
1. За четириъгълника ABCD точките М, N, Р и Q са средите на АВ, ВС, CD и ДА. Докажете, че SMNPQ= 1/2.SABED
2. М и N са среди съответно на страните AВ и АС на триъгълник АВС. Точката Р Є ВС, като СР =1/3 ВС. Правите NР и СМ се пресичат в точката О.Намерете лицето на четириъгълника ОРВМ, ако ЅABC=S

[ptj]

При подобие съответните елементи от втора степен се отнасят помежду си като квадратите на подобието:

[tex]S_{MBN}:S_{ABC}=S_{NCP}:S_{BCD}=S_{PDQ}:S_{CDA}=S_{QAM}:S_{DAB}=1^2:2^2=1:4[/tex]

Събиране почленно :


[tex]S_{MBN}+S_{NCP}+S_{PDQ}+S_{QAM}= \frac{1}{4} (S_{ABC}+S_{BCD}+S_{CDA}+S_{DAB})= \frac{1}{4}.2S_{ABCD}= \frac{1}{2}S_{ABCD}[/tex]

[tex]S_{MNPQ}=S_{ABCD}-(S_{MBN}+S_{NCP}+S_{PDQ}+S_{QAM})=S_{ABCD}- \frac{1}{2}S_{ABCD}= \frac{1}{2}S_{ABCD}[/tex]

-----------------------------------------

За втората ти трябва да използваш теорема на Талес за да намериш [tex]NO:OP[/tex].

После изразяващ [tex]S_{AMC}[/tex] и [tex]S_{NPC}[/tex] чрез [tex]S_{ABC}[/tex].

Следва [tex]S_{OPC}[/tex] първо чрез [tex]S_{NPC}[/tex], a от там и чрез [tex]S_{ABC}[/tex].

Накрая [tex]S_{MOPB}=S_{ABC}-S_{AMC}-S_{OPC}[/tex].

П.П. Следващия път публикувайте запитването си в съотвентата тема. Тези две задачи са от училишен материал по геометрия за 11 клас, а не от Висша Матеатика/Геометрия.

[Гост]

Благодаря много!