Свойство на хипербола

[Гост]

В тази тема: https://www.matematika.bg/f/viewtopic.php?f=39&t=33714 е публикувана задача за хипербола, но потребителят не е поискал решение за нея (поискал е за предната). Задачата ми се стори интересна и понеже я реших, бих искал да публикувам решението.

Задача: Нека $M$ е точка от хиперболата $H:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ с фокуси $F_1$ и $F_2$ и център $O$. Докажете, че $OM^2-MF_1.MF_2=a^2-b^2$.

Решение: $H:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,\ M(x_M,y_M)\in H\Rightarrow\frac{x_M^2}{a^2}-\frac{y_M^2}{b^2}=1\Rightarrow y_M^2=b^2\left(\frac{x^2}{a^2}-1\right)$

Хипербола.png (122.37 KiB) Прегледано 125 пъти

$|MF_1-MF_2|=2a$ - свойство на фокусите на хиперболата.

$MF_1^2-MF_2^2=(x_M-c)^2+y_M^2-(x_M-(-c))^2-y_M^2=-4cx_M$

$|(MF_1+MF_2)(MF_1-MF_2)|=|-4cx_M|=4c|x_M|$

$MF_1+MF_2=\frac{4c|x_M|}{|MF_1-MF_2|}=\frac{4c|x_M|}{2a}=2\frac{c}{a}|x_M|$

$4MF_1MF_2=(MF_1+MF_2)^2-(MF_1-MF_2)^2=\frac{4c^2}{a^2}x_M^2-4a^2$

$OM^2-MF_1MF_2=x_M^2+y_M^2-\frac{c^2}{a^2}x_M^2+a^2=$

$=x_M^2+b^2\left(\frac{x_M^2}{a^2}-1\right)-\frac{c^2}{a^2}x_M^2+a^2=\left(1+\frac{b^2}{a^2}-\frac{c^2}{a^2}\right)x_M^2+a^2-b^2=$

$=\frac{a^2+b^2-c^2}{a^2}x_M^2+a^2-b^2=a^2-b^2$