Геометрични задачи

[Гост]

Здравейте бих бил много благодарен ако ми помогнете с решението на тези две задачи:


1. Даден е триъгълник ABC с върхове А(-1, -2), В(3, -1) и C(0, 4). Да се намерят:
а) уравненията на страните на триъгълника;
б) уравнението на медианата през върха A;
в) уравнението на височината през върха A.


2. Относно декартова координатна система са дадени точките А(1, 1), В(3, 1), M(2, -1). Да се
намерят:
а) правата p минаваща през точките А и В:
б) ортогонално симетричната точка C на M спрямо правата p;
в) ъглите и лицето на триъгълник ABC.

[ammornil]

$ (a) \because{} \begin{cases} M(x_{M},y_{M}) \in{}l_{MN} \\ N(x_{N},y_{N}) \in{}l_{MN} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad l_{MN}: \quad (x_{N}-x_{M})(y-y_{M})=(y_{N}-y_{M})(x-x_{M}) \quad \Rightarrow \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{y-y_{M}}{y_{N}-y_{M}} = \dfrac{x-x_{M}}{x_{N}-x_{M}} \\[6pt] (\text{б})\because{} \begin{cases} A(x_{A},y_{A}), B(x_{B},y_{B}), M(x_{M},y_{M}) \\ AM=MB \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x_{M}=\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2}\\[6pt] y_{M}=\dfrac{y_{A}+y_{B}}{2} \end{cases} \\[6pt] (\text{в}) \because{} \begin{cases} p:\quad y=k_{p}x+n_{p} \\ q: \quad y=k_{q}x+n_{q} \\ p\bot{}q \end{cases} \quad \Rightarrow \quad k_{p}\cdot{}k_{q}=-1 \\[12pt]$

1. Даден е триъгълник ABC с върхове А(-1, -2), В(3, -1) и C(0, 4). Да се намерят:
а) уравненията на страните на триъгълника;
б) уравнението на медианата през върха A;
в) уравнението на височината през върха A.

$\\[12pt] l_{BC}: \quad \dfrac{y-y_{B}}{y_{C}-y_{B}} = \dfrac{x-x_{B}}{x_{C}-x_{B}} \Rightarrow \dfrac{y-(-1)}{4-(-1)} = \dfrac{x-3}{0-3} \Rightarrow -3(y+1)=5(x-3) \Rightarrow -3y-3=5x-15\\[6pt] \boxed{\quad l_{BC}: \quad 5x+3y-12=0 \quad }\\[6pt] \text{Аналогично и за другите две страни...} \\[24pt] m_{a}=AM, M(x_{M},y_{M})\in{}BC, BM=MC \Rightarrow x_{M}= \dfrac{x_{B}+x_{C}}{2}= \dfrac{3}{2}, \quad y_{M}= \dfrac{y_{B}+y_{C}}{2}=\dfrac{3}{2}\\[6pt] l_{m_{a}}\equiv l_{AM}: \quad \dfrac{y-y_{A}}{y_{M}-y_{A}} = \dfrac{x-x_{A}}{x_{M}-x_{A}} \cdots \\[24pt]h_{a}=AA_{1}, A_{1}\in{}BC, AA_{1}\bot{}BC \\[6pt] l_{BC}: \quad 5x+3y-12=0 \quad \Rightarrow y=\underbrace{-\dfrac{5}{3}}_{k_{BC}}x+4 \\[6pt] AA_{1}\bot{}BC \Rightarrow k_{AA_{1}}\cdot{}k_{BC}=-1 \Rightarrow k_{AA_{1}}=-\dfrac{1}{k_{BC}}=\dfrac{3}{5} \\[6pt] k_{AA_{1}}: \quad y=k_{AA_{1}}x+n_{AA_{1}}= \dfrac{3}{5}x+n_{AA_{1}} \\[6pt] A(-1, -2) \in{}l_{AA_{1}} \Rightarrow y_{A}=\dfrac{3}{5}x_{A}+n_{AA_{1}} \Rightarrow n_{AA_{1}}=\dfrac{3}{5}x_{A}-y_{A}= \dfrac{3}{5}\cdot{}(-1)-(-2)= -\dfrac{3}{5}+\dfrac{10}{5}=\dfrac{7}{5} \\[6pt] \boxed{\quad l_{AA_{1}}: \quad y= \dfrac{3}{5}x+\dfrac{7}{5} \Leftrightarrow 3x-5y+7=0 \quad }$

Поверете за изчислителни грешки.

[Гост]

Това може ли да се приеме за правилно решение?

b) hа A (-1,-2)
BC: 5x+3y-12=0=> Nbc(5, 3)

=>Nha(-3,5)

hа= Ax + By +C =>

-3x +5y + C = 0
-3. (-1) +5. (-2) +C=0
3 +(-10) + C=0
C = 7
=> hA= -3x+5y+7=0

[Гост]

Отнася се за 1задача В подточка.

[ammornil]

Аз не съм силен във векторни решения, но това изглежда логично. Обаче нещо със стойностите на наклоните не ми харесва. Правата $l_{BC}: 5x+3y-12=0$ има отрицателен наклон. Според мен $\vec{N}_{BC}=(-5,3)$.$\\[12pt]$

Screenshot 2025-01-13 082503.png (13.73 KiB) Прегледано 113 пъти

$\\[6pt]$

[Гост]

Ако уравнението се умножи с -1 няма ли да се получи правилно : 3х-5y-7=0

[ammornil]

Ако уравнението се умножи с -1 няма ли да се получи правилно : 3х-5y-7=0

Да, аз съм допуснал грешка в изчисляването на права на височината. Уравнението на правата на височината в действителност е $3x-5y-7=0$

[Гост]

Благодаря много иначе!