от Spider Iovkov » 27 Фев 2010, 21:16
[tex]k: \, 9x^2-24xy+16y^2+20x+15y+7=0[/tex]
Квадратичната част на кривата е [tex]9x^2-24xy+16y^2[/tex]. Тя има общия вид [tex]a_{11}x^2+a_{12}xy+a_{21}xy+a_{22}y^2[/tex]. Но понеже матрицата [tex]a_{pq}[/tex] е симетрична, т. е. [tex]a_{pq}=a_{qp}, \, p, \, q = 1,2[/tex], то квадратичната част се записва като [tex]a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2[/tex]. Нейната матрица е
[tex]\left ( \begin{array} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right ) = \left ( \begin{array} 9 & -12 \\ -12 & 16 \end{array} \right )[/tex].
Характеристичният полином се определя, като поставим едно [tex]-\lambda[/tex] навсякъде по главния диагонал и приравним на нула получената детерминанта, т. е.
[tex]\left | \begin{array} 9-\lambda & -12 \\ -12 & 16-\lambda \end{array} \right |=0 \Leftrightarrow (9-\lambda)(16-\lambda)-144=0 \Leftrightarrow \lambda(\lambda-25)=0 \Leftrightarrow \lambda=0 \cup \lambda=25[/tex].
Стойностите [tex]\lambda=0[/tex] и [tex]\lambda=25[/tex] са собствени стойности. От тях получаваме съответно два собствени вектора. Трябва да решим системата
[tex]\begin{array}{||} (9-\lambda)u-12v=0 \\ -12u+(16-\lambda)v=0 \end{array} \, (*)[/tex], където [tex](u;v)[/tex] са координатите на собствен вектор.
Замествайки [tex]\lambda=0[/tex] в тази система, достигаме до [tex]9u-12v=0 \Leftrightarrow 3u-4v=0 \Leftrightarrow u=\frac{4}{3}v[/tex]. Ако [tex]v=3[/tex], то [tex]u=4[/tex] и единият собствен вектор е [tex]e_{1}'=\left ( u \\ v \right ) = \left ( 4 \\ 3 \right )[/tex]. Искаме да направим този вектор единичен, т. е. [tex]|e_{1}'|=1[/tex]. Това се постига чрез решаването на уравнението
[tex]\left ( \frac{4}{x} \right )^2 + \left ( \frac{3}{x}\right )^2=1 \Leftrightarrow \frac{16}{x^2}+\frac{9}{x^2}=1 \Leftrightarrow \frac{25}{x^2}=1 \Leftrightarrow x^2=25[/tex].
Избираме [tex]x=5[/tex] например и единичният собствен вектор е [tex]e_{1}' = \left ( \frac{4}{5} \\ \frac{3}{5} \right )[/tex].
Аналогично — като решим системата [tex](*)[/tex] за [tex]\lambda=25[/tex], намираме втория собствен вектор — [tex]e_{2}' = \left ( \begin{array} -3 \\ 4 \end{array} \right )[/tex]. Отново искаме единичност на вектора — [tex]|e_{2}'|=1[/tex]. По горния начин намираме [tex]e_{2}'= \left ( \begin{array} -\frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \end{array} \right )[/tex].
Виждаме, че [tex]e_{1}' e_{2}'=0[/tex], което от своя страна дава [tex]e_{2}' \bot e_{1}'[/tex]. Така [tex]e_{1}'[/tex] и [tex]e_{2}'[/tex] образуват ортонормирана координатна система.
Сега ще извършим транслация на текущата координатна система [tex]Oxy[/tex] към новата система [tex]Ox'y'[/tex]. Това се постига от равенството
[tex]\left ( \begin{array} x \\ y \end{array} \right ) = T \left ( \begin{array} x' \\ y' \end{array} \right )[/tex],
където матрицата [tex]T[/tex] е такава, че в стълбовете ? са записани координатите на векторите [tex]e_{1}'[/tex] и [tex]e_{2}'[/tex]. Имаме
[tex]\left ( \begin{array} x \\ y \end{array} \right ) = \left ( \begin{array} \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & \frac{4}{5}\end{array} \right ) \left ( \begin{array} x' \\ y' \end{array} \right )[/tex].
Умножаваме двете матрици вдясно и равенството е равносилно с
[tex]\left ( \begin{array} x \\ y \end{array} \right ) = \left ( \begin{array} \frac{4}{5}x'-\frac{3}{5}y' \\ \frac{3}{5}x'+\frac{4}{5}y' \end{array} \right ), \, x=\frac{4}{5}x'-\frac{3}{5}y', \, y=\frac{3}{5}x'+\frac{4}{5}y'[/tex].
Заместваме координатите [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] в квадратичната част и малко преобразуваме, докато получим по-приемлив израз:
[tex]9x^2-24xy+16y^2 = 9 \left ( \frac{4}{5}x'-\frac{3}{5}y' \right )^2 - 24 \left ( \frac{4}{5}x'-\frac{3}{5}y' \right ) \left ( \frac{3}{5}x'+\frac{4}{5}y' \right ) + 16 \left ( \frac{3}{5}x'+\frac{4}{5}y' \right )^2[/tex].
След малко сметки това придобива вида [tex]25y'^2[/tex]. Сега се връщаме в първоначалното уравнение на кривата (вече имаме квадратичната част), като и там заместваме [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] с техните равни от трансформационните формули:
[tex]25y'^2+20.\frac{1}{5}.(4x'-3y')+15.\frac{1}{5}.(3x'+4y')+7=0 \Leftrightarrow 25y'^2+4(4x'-3y')+3(3x'+4y')+7=0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 25y'^2+16x'-\cancel {12y'} +9x'+\cancel {12y'} +7=0 \Leftrightarrow 25y'^2+25x'+7=0[/tex].
В уравнения като последното отделяме точни квадрати от вида [tex](x'-a)^2, \, (y'-b)^2[/tex], където [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] са някакви числа, и полагаме например [tex]x'-a= \theta, \, y'-b=\psi[/tex]. Вече
[tex]25y'^2+25x'+7=0 \Leftrightarrow 25y'^2+25 \left ( x'+\frac{7}{25} \right )=0 \Leftrightarrow y'^2+x'+\frac{7}{25}=0[/tex].
Като положим [tex]y'=\theta[/tex] и [tex]x'+\frac{7}{25}=\psi[/tex], стигаме до каноничното уравнение [tex]\theta^2+\psi=0 \Leftrightarrow \theta^2=-\psi[/tex].
Меню
