Задача за тетраедър

[hrisy.lozanska]

Даден е тетраедър АBCD
DA = a, DB = b, DC=c
a,b,c = линейно независими вектори
DD1, AA1, BB1, CC1 - медиани
- да се изразят АА1, BB1, CC1, DD1 чрез a,b,c
- да се докаже, че четирите медиани се пресичат в т.М и да се намери отношението, в което тя ги разделя.
- да се докаже, че ОМ = 1/4 (ОА + OB + OC + OD)

Ще бъда много благодарна, ако някой ми помогне с решението на второто и третото условие. Благодаря предварително

[ptj]

Не е много коректно условието. Под медиана очевидно се има предвид отсечката свързваща връх и медицентъра на срещуположната стена (триъгълник).

Доказателството на последното е лесно:

Нека т.[tex]M[/tex]дели [tex]AA_1[/tex] в отношение [tex]3:1[/tex], считано от върха.
Тогава за произволна точка [tex]O[/tex] е изпълнено [tex]\vec{OM}=\frac{1}{4 }\vec{OA}+\frac{3}{4 }\vec{OA_1}[/tex]

[tex]\vec{OB}+\vec{OC}+\vec{OD}= (\vec{OA_1}+\vec{A_1B})+(\vec{OA_1}+\vec{A_1C})+(\vec{OA_1}+\vec{A_1D})=3\vec{OA_1}+( \vec{A_1B}+ \vec{A_1C}+\vec{A_1D})=3\vec{OA_1}[/tex]

( т.[tex]A_1[/tex] е медицентър в [tex]\Delta BCD[/tex] <=> [tex]( \vec{A_1B}+ \vec{A_1C}+\vec{A_1D})=\vec0[/tex] )

Заместваме полученото за [tex]3\vec{OA_1}[/tex] в първото равенство и получаваме:
[tex]\vec{OM}=\frac{1}{4 } (\vec{OA}+\vec{OB}+ \vec{OC}+\vec{OD})[/tex].

Аналогично се изразява и за останалите медиани, но важното е , че винаги се получава
[tex]\vec{OM}=\frac{1}{4 } (\vec{OA}+\vec{OB}+ \vec{OC}+\vec{OD})[/tex].
Казано по друг начин мястото на т.[tex]M[/tex] е фиксирано и не зависи от избора на съответната медиана (инвариатно) . Следствие е, че 4-те медиани се пресичат именно в т.[tex]M[/tex] (център на тежестта за тетраедъра) .