Център на елипса

[mnnayden]

Нека имаме уравнение на елипса в полярни координати във вида [tex]r=\frac{1}{ A-Bcos(\vartheta)[/tex]. Да се изведат координатите на центъра на тази елипса в декартови координати (х,у).

[kerry]

Нека A и B са положителни и A>B. В противен случай няма да е елипса.

При [tex]\theta = 0, r=\frac{1}{A-B}[/tex] - това е абсцисата на т.M,

а при [tex]\theta = \pi, r=\frac{1}{A+B}[/tex] - това пък е абсцисата на т.N.

Абсцисата на т.О е средно-аритметичното на тези две числа [tex]\frac{B}{A^2-B^2}[/tex]. Ординатата е нула.

Elipsa.PNG (8.36 KiB) Прегледано 921 пъти

Представяне на елипсата в Декартови координати:

[tex]tg \theta = \frac{y}{x}[/tex]

[tex]cos^2 \theta = \frac{1}{1+ tg^2 \theta}=\frac{x^2}{x^2+y^2}[/tex]

[tex]cos\theta=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}[/tex]

[tex]r=\sqrt{x^2+y^2}[/tex]

Заместваме [tex]cos\theta[/tex] и r в даденото уравнение и след преобразуване получаваме:

[tex]\frac{(x-f)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/tex]

където [tex]f=\frac{B}{A^2-B^2} \ ; \ a= \frac{A}{A^2-B^2} \ ; \ b=\frac{1}{\sqrt{A^2-B^2}}[/tex]

[mnnayden]

Поздравления! Получи отговора.