Вектори, Докажете линейна независимост и линейна комбинация

[rufi]

Дадени са векторите [tex]\vec{a_{1}}=(1,1,-1)[/tex], [tex]\vec{a_{2}}=(1,1,0)[/tex], [tex]\vec{a_{3}}=(2,0,0)[/tex].
а) Да се докаже, че векторите са линейно независими.
б)Да се изрази векторът [tex]\vec{b}=(2,-1,0)[/tex]като тяхна линейна комбинация.

[0xdeadbeef]

а) Нека векторите [tex]\vec a_1, \vec a_2[/tex] и [tex]\vec a_3[/tex], са линейно зависими, тогава e вярно равенството

[tex]\lambda_1 \vec a_1 + \lambda_2 \vec a_2 + \lambda_3 \vec a_3 = \vec 0 \Leftrightarrow[/tex][tex]\begin{array}{|l}
\lambda_1 & +\lambda_2 &+2\lambda_3 &= 0 \\
\lambda_1 & +\lambda_2 & & = 0 \\
-\lambda_1 & & &= 0\\
\end{array}[/tex] [tex]\small {(*)}[/tex].

Системата [tex]\small {(*)}[/tex] има единствено решение [tex](0,0,0)[/tex], което е тривиалната комбинация,
следователно векторите [tex]\vec a_1, \vec a_2[/tex] и [tex]\vec a_3[/tex] са линейно независими.

б) [tex]\lambda_1 \vec a_1 + \lambda_2 \vec a_2 + \lambda_3 \vec a_3 = \vec b \Leftrightarrow[/tex] [tex]\begin{array}{|l}
\lambda_1 & +\lambda_2 &+2\lambda_3 &= 2\\
\lambda_1 & +\lambda_2 & & = -1 \\
-\lambda_1 & & &= 0\\
\end{array}[/tex], с решение [tex](0, -1, \frac{3}{2})[/tex].

[tex]\Rightarrow \fbox{\vec b = -\vec a_2 + \frac{3}{2} \vec a_3}[/tex]