Въпрос за студенти 1-ви курс

[stflyfisher]

още една причина за полагане към тригонометрия по-рано, за да избегнем толкова писане .
Хич не обичам такъв тип интеграли, които не са трудни просто са страшно хамалски

Напълно си прав и за полагането и за хамалогията.


Една лесна, стандартна, за 1 курс задачка за лице:

1.) Намерете лицето на фигурата, ограничена от кривите:

[tex]y=x^2[/tex], [tex]y=3-2x[/tex]

И една стандартна, но не много лесна за 1 курс задачка за локални екстремуми:

2.) Намерете локaлните екстремуми на ф-та:

[tex]z(x,y)=x^4+y^4-2x^2-2y^2+4xy[/tex]

[MasterZ]

Има 2 минимума в точките (√2;-√2) (-√2;√2). За точката (0;0) трябва допълнителен анализ. според мен при нея няма екстремум(незнам как да го докажа).
Първата задача действително е доста лесна:
[tex]|\int_{-3}^{1 } 3-2x-x^2dx|=\frac{13}{3 }[/tex]

[stflyfisher]

Има 2 минимума в точките (√2;-√2) (-√2;√2). За точката (0;0) трябва допълнителен анализ. според мен при нея няма екстремум(незнам как да го докажа).
Първата задача действително е доста лесна:
[tex]|\int_{-3}^{1 } 3-2x-x^2dx|=\frac{13}{3 }[/tex]

Точно така. За т-те [tex](\sqrt{2};-\sqrt{2})[/tex] и [tex](-\sqrt{2};\sqrt{2})[/tex] е стандартно, но именно в т-та [tex](0;0)[/tex] e интересно какво става.

[MasterZ]

Точно така. За т-те [tex](\sqrt{2};-\sqrt{2})[/tex] и [tex](-\sqrt{2};\sqrt{2})[/tex] е стандартно, но именно в т-та [tex](0;0)[/tex] e интересно какво става.

Сега ще се почувъркам малко да видя мога ли да го докажа

[stflyfisher]

Разгледай:

[tex]\Delta z(0;0)=z(\Delta x;\Delta y)-z(0;0)[/tex]

[mkmarinov]

[tex]\frac{d^2z}{dxdy}=4>0[/tex]
Това не е ли достатъчно условие за локален максимум?

[stflyfisher]

[tex]\frac{d^2z}{dxdy}=4>0[/tex]
Това не е ли достатъчно условие за локален максимум?

[MasterZ]

[tex]\int [2^x]dx[/tex] ето една задачка и от мен за първокурсници Където [] е цяла част.

[stflyfisher]

Решете интегралите:

1.) [tex]\int x^{2 \sqrt{2}-1}.\sqrt[3]{1+x^{\sqrt{2}}}dx[/tex]

2.)[tex]\int (sin2x.arctg x - \frac{cos^2x}{1+x^2})dx[/tex]

[Donatello]

[tex]\int [2^x]dx[/tex] ето една задачка и от мен за първокурсници Където [] е цяла част.

[tex]\frac{2^x}{ln2} ?[/tex]

Решете интегралите:

1.) [tex]\int x^{2 \sqrt{2}-1}.\sqrt[3]{1+x^{\sqrt{2}}}dx[/tex]

Полагаш [tex]x^{\sqrt{2}}=u[/tex]
от там ти се получава, че [tex]du=\sqrt{2}.x^{\sqrt{2}-1}dx[/tex]
=>[tex]\frac{1}{\sqrt{2}}\int u.\sqrt[3]{1+u}.du[/tex][tex]=\frac{1}{\sqrt{2}}\int u.d\(\frac{3(1+u)^{\frac{4}{3}}}{4}\)[/tex]
интегриране по части и се получава.

[vel.angelov]

Тая задача [tex]\int [2^x]dx[/tex] е интересна
Предполагам че се решава така:
[tex]2^{x}=[2^{x}]+R[/tex]
тук очевидно R е число между 0 и 1 .Ако интегрираме двете страни на равенството то те ще се различават само по константа.Тогава получаваме:
[tex]\int [2^x]dx=\frac{2^{x}}{ln2 } -Rx+C[/tex]
[tex]=> \int [2^x]dx=\frac{2^{x}}{ln2 } -2^{x}x+[2^{x}]x+C[/tex]

[Donatello]

2.)[tex]\int (sin2x.arctg x - \frac{cos^2x}{1+x^2})dx[/tex][tex]=\int arctgx.d(-\frac{cos2x}{2}) - \int \frac{cos^2x}{1+x^2}dx[/tex]
[tex]\int arctgx.d(-\frac{cos2x}{2})=-\frac{cos2x}{2}arctgx+\frac{1}{2}\int \frac{cos2x.dx}{1+x^2}=[/tex]
[tex]=-\frac{cos2x}{2}arctgx+\frac{1}{2}\int \frac{(2cos^2x-1).dx}{1+x^2}=[/tex]
[tex]=-\frac{cos2x}{2}arctgx+ \int \frac{cos^2x}{1+x^2}dx -\frac{arcrtgx}{2} \Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow \int (sin2x.arctg x - \frac{cos^2x}{1+x^2})dx=-\frac{cos2x}{2}arctgx+ \int \frac{cos^2x}{1+x^2}dx -\frac{arcrtgx}{2}- \int \frac{cos^2x}{1+x^2}dx=[/tex]
[tex]=-\frac{arctgx}{2}(cos2x+1)[/tex]