Криволинеен интеграл от 2-ри род

[reg92]

изпитвам трудност в решението на следния интеграл [tex]\int_{}^{ }[/tex]. xdy - ydx , C:x=cos^{3}t, y=sin^{3}t , където [tex]t \in [0,2\pi ][/tex]. ще съм Ви благодарен , ако някой ми помогне със задачата :]

[ferry2]

Просто заменяш x и y и пресмяташ диференциалите, като не забравяш, че новата променлива вече ще е t.

[Добромир Глухаров]

[tex]dx=\frac{dx}{dt}dt=3cos^2t(-sint)dt[/tex]

[tex]dy=\frac{dy}{dt}dt=3sin^2tcos^2tdt[/tex]

[tex]I=\int xdy-ydx=\int_0^{2\pi} (cos^3t.3sin^2tcost+sin^3t.3cos^2tsint)dt[/tex]

[tex]I=3\int_0^{2\pi} sin^2tcos^2t(cos^2t+sin^2t)dt=\frac{3}{4.2}\int_0^{2\pi} (2sintcost)^2d(2t)[/tex]

[tex]I=\frac{3}{8}\int_0^{2\pi} sin^2(2t)d(2t)=\frac{3}{8}\int_0^{4\pi} sin^2udu[/tex]

[tex]I_1=\int sin^2udu=-\int sinu dcosu=-sinucosu+\int cosu dsinu=-sinucosu+\int cos^2udu[/tex]

[tex]I_1=-sinucosu+\int(1-sin^2u)du=-sinucosu+u-I_1[/tex]

[tex]2I_1=u-sinucosu[/tex]

[tex]I=\frac{3}{8}.\frac{u-sinucosu}{2}\|_0^{4\pi}=\frac{3}{16}(4\pi-0)-\frac{3}{16}(sin(4\pi)cos(4\pi)-sin0cos0)=\frac{3\pi}{4}-0=\frac{3\pi}{4}[/tex]

[reg92]

Едно ОГРОМНО Благодаря !