Сходящ ли е интегралът

[mkmarinov]

Задача от изпит:
Да се докаже, че интегралът е сходящ:
[tex]\int_0 ^{\infty} \sin \frac{x^4+x^3}{x^2+5}.dx[/tex]

[tex]sin(\frac{x^4+x^3}{x^2+5}).dx=sin(P(x)+\frac{ax+b}{x^2+5})=sinP(x)cos(\frac{ax+b}{x^2+5})+cosP(x).sin(\frac{ax+b}{x^2+5})[/tex]
Интегралът на второто събираемо е очевидно сходящ. Първият обаче ми изглежда разходящ. Греша ли?

[Гост]

А защо вторият е сходящ?

[mkmarinov]

[tex]cosP(x).sin(\frac{ax+b}{x^2+5}) \approx cosP(x).\frac{ax+b}{x^2+5} \approx \frac{cos(x^2)}{x} + \frac{cos(x^2)}{x^2}[/tex]

И, да се поправя, първият не е разходящ - просто съм искал да кажа, че не е сходящ.

[mkmarinov]

Отговор: да, сходящ е, и интегралът [tex]\int_0^{\infty} sin(x^2).dx = \frac{\Gamma(\frac{1}{2}).sin(\frac{\pi}{4})}{2} = \frac{\sqrt{2\pi}}{4}[/tex] (интеграл на Френел).