Интересни множества

[mkmarinov]

Нека [tex]C \subset 2^{\mathbb{Q}}[/tex] и за всяко [tex]S \in C[/tex] е вярно, че всяко ограничено (отгоре) подмножество
на [tex]S[/tex] има точна (горна) граница.

Изброимо ли е [tex]C[/tex]?

[drago]

Всяко ограничено отгоре множество винаги има точна горна граница (в [tex]\mathbb{R}[/tex] ). Предполагам, че искаш тази точна горна граница да е от [tex]\mathbb{Q}[/tex].
В такъв случай задачата има смисъл и [tex]C[/tex]може да не е изброимо.
Пример:
Нека [tex]A=\{ 1-\frac{1}{n} \,|\, n=1,2,\ldots\}[/tex], [tex]C=2^A[/tex]. В такъв случай за всяко [tex]S \subset C[/tex], всяко негово подмножество има точна горна граница, която е рационална.

[Гост]

Извинявам се, че не съм уточнил. За всяко [tex]S \in C[/tex] е вярно, че всяко ограничено подмножество на [tex]S[/tex] има точна граница, която също е в [tex]S[/tex]. Т.е. колко са подмножествата на рационалните числа, които удовлетворяват това свойство за "пълнота".
За отговора си прав - неизброимо много са .

[drago]

... За всяко [tex]S \in C[/tex] е вярно, че всяко ограничено подмножество на [tex]S[/tex] има точна граница, която също е в [tex]S[/tex]... .

В такъв случай горния пример върши работа с лека модификация:
[tex]A=\{ 1-\frac{1}{n} \,|\, n=1,2,\ldots\}[/tex], [tex]C'=2^A,\, C=\left\{X\cup\{1\}\,|\, X \in C' \right\}[/tex].