Функция - интервали, екстремуми

[tongois]

Здравейте от 25 минути решавам една функция и 7 различни решенея... Може ли някой да ми я реши да видя кой от всичките методи е правилния.
Функцията е :
[tex]y = x \sqrt{1-x^2}[/tex]
Търси се: екстремуми, ДО, интервали на монотоност.
Благодаря на отзовалите се.

[admin]

Може да начертаете графиката на функцията в инструмента за графики и да добиете реална представа как изглежда функцията:

http://www.math10.com/bg/software/grafi ... kncii.html
въведете: x*sqrt(1-x^2)

[Гост]

[tex]f(x) = x\sqrt{1-x^2} \Rightarrow f'(x) = \sqrt{1-x^2}+x\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) = \sqrt{1-x^2}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1-x^2-1}{\sqrt{1-x^2}} = -\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \le 0[/tex]

Тогава функцията няма глобални екстремуми. Тя ще има само локални екстремуми.

[tex]1-x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 \le 1 \Rightarrow (x+1)(x-1) \le 0 \Rightarrow x \in [-1;1][/tex]

Трябва да намерим най-голяма и най-малката стойност в интервала [tex][-1;1][/tex].

[Гост]

Ето ти и графиката.

[Гост]

Офф, не съм си преписал правилно производната, съжалявам. Сега ще се поправя.

[Гост]

[tex]f(x) = x\sqrt{1-x^2} \Rightarrow f'(x) = \frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}[/tex]

[tex]f'(x) \ge 0 \Rightarrow x \in \left [ -\frac{1}{\sqrt{2}}; \, \frac{1}{\sqrt{2}} \right ], \quad f'(x) \ge 0 \Rightarrow x \in \left ( -\infty; \, -\frac{1}{\sqrt{2}} \right ] \cup \left [ \frac{1}{\sqrt{2}}; \, +\infty \right )[/tex]

[tex]f \left ( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right ) = f_{\operatorname{min}} = -\frac{1}{2}, \quad f \left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right ) = f_{\operatorname{max}} = \frac{1}{2}[/tex]

[Гост]

[tex]f(x) = x\sqrt{1-x^2} \Rightarrow f'(x) = \frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}[/tex]

[tex]f'(x) \ge 0 \Rightarrow x \in \left [ -\frac{1}{\sqrt{2}}; \, \frac{1}{\sqrt{2}} \right ], \quad f'(x) \le 0 \Rightarrow x \in \left ( -\infty; \, -\frac{1}{\sqrt{2}} \right ] \cup \left [ \frac{1}{\sqrt{2}}; \, +\infty \right )[/tex]

[tex]f \left ( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right ) = f_{\operatorname{min}} = -\frac{1}{2}, \quad f \left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right ) = f_{\operatorname{max}} = \frac{1}{2}[/tex]