рекурентна редица и граница

[martin123456]

Дадено е, че [tex]x_1>1[/tex] и [tex]x_{n+1}x_n-2x_n+1=0[/tex] за [tex]n \in \mathbb{N}[/tex]. Пресметнете [tex]\lim_{n \rightarrow \infty}{(x_n)^n}[/tex].

[pipi langstrump]

Получавам [tex]e[/tex]

[martin123456]

как го получи?

[pipi langstrump]

Общият член на редицата е [tex]\frac{(n+1)x_1 - n}{nx_1 - (n-1)}[/tex] (доказва се с индукция). Сетне
[tex]\lim_{n\to\infty }\left(\frac{(n+1)x_1 - n}{nx_1 - (n-1)}\right)^n = \lim_{n\to\infty }\left(1+ \frac{n\left(\frac{(n+1)x_1 - n}{nx_1 - (n-1)}\right) - n}{n}\right)^n[/tex]
[tex]= \exp \lim_{n\to\infty }n\left(\frac{(n+1)x_1 - n}{nx_1 - (n-1)} - 1\right)= \exp \lim_{n\to\infty }n\left(\frac{x_1 - 1}{nx_1 - n+1}\right)[/tex]
[tex]= \exp \lim_{n\to\infty }\left(\frac{x_1 - 1}{x_1 -1 + \frac{1}{n} }\right) = e[/tex]

[martin123456]

мерси. не бях видял общия член.