полином

[martin123456]

Нека [tex]\{a_n\}[/tex] удовлетворява [tex]\sum_{k=0}^{n}{\frac{a_k}{(k+1)^2}}=0[/tex]. Докажете, че полиномът [tex]a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n[/tex] има корен в [tex](0,1)[/tex].

[Baronov]

Нека [tex]g(x) = a_{0}x + \frac{a_{1}x^2}{4} + \frac{a_{2}x^3}{9} + .. + \frac{a_{n}x^{n+1}}{(n+1)^2}[/tex]
Ако f(x) е полиномът от условието, то
[tex]f(x) = (xg'(x))'[/tex].
Имаме g(0) = g(1) = 0, тоест g' има корен t в интервала (0, 1). Ако h = xg', то h(0) = 0 = h(t), т.е. h' има корен в интервала (0, t), но h' е точно равно на f.

[martin123456]

да