Парциална сума.

[nikouay]

Моля ви,напишете ми решението как да намеря n-тата парциална сума на реда:

[tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-n}{n(n+1)(n+3)}[/tex]

След като разложа на сума от рационални дроби получавам:
A=1/3 , B=-1 , C=2/3

и след това в Sn не мога да съкратя нищо...

[pipi langstrump]

Не се прави така. Имаме

[tex]\frac{1-n}{n(n+1)(n+3)} = \frac{1}{n(n+1)(n+3)} - \frac{1}{(n+1)(n+3)}[/tex]

[tex]\frac{1}{n(n+1)(n+3)} = \frac{1}{3} \frac{(n + 3) - n}{n(n+1)(n+3)} = \frac{1}{3}\frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{3}\frac{1}{(n+1)(n+3)}[/tex] и следователно

[tex]\sum \frac{1-n}{n(n+1)(n+3)} = \sum \frac{1}{3}\frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{3}\frac{1}{(n+1)(n+3)} - \frac{1}{(n+1)(n+3)}[/tex]

Сега си ти на ход.

[nikouay]

Благодаря ти много, изобщо не бях се сетил че може да се разложи така. Нито пък сме ги разлагали така на упражненията...

[nikouay]

Пак не мога да развия сумата така че да се съкращават членовете,може ли да я довършиш че явно тук не ми е силата. От вчеря я мисля тая задача

[pipi langstrump]

Развиваш си всяка сума поотделно

[tex]\sum \frac{1}{3}\frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{3}\frac{1}{(n+1)(n+3)} - \frac{1}{(n+1)(n+3)} = \frac{1}{3}\sum \frac{1}{n(n+1)} - \frac{4}{3}\sum\frac{1}{(n+1)(n+3)}[/tex]

За първата:
[tex]\sum \frac{1}{n(n+1)} = \sum \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} +...+ \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}[/tex]

Втората
[tex]\sum\frac{1}{(n+1)(n+3)} = \frac{1}{2} \sum \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+3} =\frac{1}{2}\left( \sum \frac{1}{n+1} - \sum\frac{1}{n+3}\right) =[/tex]
[tex]\frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + ...+ \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{4} - \frac{1}{5} -...- \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3}\right)[/tex]

[Zlatinster]

Защо си отговорил не се прави така във втория пост къде е грешката след като е намерил така коефициентите ?

[pipi langstrump]

Той си е написал къде е грешката:

и след това в Sn не мога да съкратя нищо...

[Zlatinster]

Развиваш си всяка сума поотделно

[tex]\sum \frac{1}{3}\frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{3}\frac{1}{(n+1)(n+3)} - \frac{1}{(n+1)(n+3)} = \frac{1}{3}\sum \frac{1}{n(n+1)} - \frac{4}{3}\sum\frac{1}{(n+1)(n+3)}[/tex]

За първата:
[tex]\sum \frac{1}{n(n+1)} = \sum \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} +...+ \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}[/tex]

Втората
[tex]\sum\frac{1}{(n+1)(n+3)} = \frac{1}{2} \sum \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+3} =\frac{1}{2}\left( \sum \frac{1}{n+1} - \sum\frac{1}{n+3}\right) =[/tex]
[tex]\frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + ...+ \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{4} - \frac{1}{5} -...- \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3}\right)[/tex]

1/2 пред сумата само чрез коефициентите A и B ли могат да се определят ?