Редици въпрос

[Dark Angel]

Здравейте,
опитвам се да постигна някакъв напредък с числовите редици, че да се явя на изпит другата седмица. Диференциалното смятане горе долу схванах идеята, но сега се опитвам да схвана и БЧР.
Та идеята е следната... имам зададена следната задача.
[tex]\sum_{n=1 }^{\infty }\frac{1}{n^{n} }[/tex] да сравня с геометричния ред [tex]\sum_{n=1 }^{\infty }\frac{1}{2^{n} }[/tex]
Дотук всичко е много добре. Отговора ми е ясен, питането ми е дали това, което пиша е правилно за отговор или отговора трябва да бъде дефиниран по различен начин.
Ето и моето решение....
[tex]\sum_{n=1 }^{\infty }\frac{1}{2^{n} }[/tex] това е геометричен ред, което значи, че е сходящ, но все пак го доказвам по Даламбер.
[tex]\sum_{n=1 }^{\infty }\frac{1}{2^{n} }=\frac{1}{2 } +\frac{1}{4 }+\frac{1}{8 }+\frac{1}{16 }+..........+\frac{1}{2^{n-1} }+\frac{1}{2^{n} }[/tex]

[tex]\lim_{n-\infty }=\frac{\frac{1}{2^{n} } }{\frac{1}{2^{n-1} } }=\lim_{n-\infty }\frac{1}{2^{n} }.\frac{2^n.2^{-1}}{1 }=\lim_{n-\infty }\frac{1}{ 2}=\frac{1}{ 2}[/tex] Което ще рече, че [tex]q=\frac{1}{ 2}[/tex] => [tex]0\le q\le 1[/tex]
След като доказахме, че геометричният ред е сходящ обръщаме внимание на другият ред.
[tex]\sum_{n=1 }^{\infty }\frac{1}{n^{n} }[/tex]
При [tex]n=1[/tex] [tex]\frac{1}{2 } <1[/tex], [tex]n=2[/tex] [tex]\frac{1}{4 } =\frac{1}{4 }[/tex], [tex]n=3[/tex] [tex]\frac{1}{8 } >\frac{1}{ 27}[/tex] от което излиза, че [tex]0\le \frac{1}{n^{n} }\le \frac{1}{2^{n} }[/tex]
От този момент нататък условието за сравнимост е спазено. От което също така се доказва, че щом ред [tex]\sum_{n=1 }^{\infty }\frac{1}{2^{n} }[/tex] е сходящ, по необходимите условия за сходимост и ред [tex]\sum_{n=1 }^{\infty }\frac{1}{n^{n} }[/tex] също е сходящ.
Това съм написал като отговор на задачата. Всъщност даже се чудих дали трябва да се доказва за геометричният ред, че е сходящ при положение, че за геометричен ред това се знае.
Всъщност въпросът ми е това ли е решение на този тип задачи или нещо друго. Ако решението се дава по друг начин ще бъда много благодарен за едно опътване.
Предварително благодаря за мненията.