Неравенство за доказване

[kameliya]

[tex]\frac{1}{ n+1} < \frac{1.3.5...(2n-1)}{2.4.6...(2n)} < \frac{1}{\sqrt{3n+1}}[/tex] za [tex]n\ge 2[/tex]

[fmi-kn]

Пробвай с математическа индукция .

По-късно ако никой по-компетентен не ти отговори, ще се опитам да я реша (въпреки,че и аз не съм много на "ти" с анализа ) ...

[Гост]

[tex]\frac{1}{ n+1} < \frac{1.3.5...(2n-1)}{2.4.6...(2n)} < \frac{1}{\sqrt{3n+1}}[/tex] za [tex]n\ge 2[/tex]

Да разгледаме лявото неравенство

[tex]\frac{1}{ n+1} < \frac{1.3.5...(2n-1)}{2.4.6...(2n)} \qquad \qquad (\ast)[/tex]

При [tex]n=2[/tex], имаме [tex]\frac{1.3}{2.4} = \frac{3}{8} (> \frac{1}{3})[/tex]. Нека [tex](\ast)[/tex] е вярно за [tex]n = k > 2[/tex].

[tex]\frac{1.3.5 \dots (2k-1)\left(2(k+1) - 1\right)}{2.4.6 \dots (2k)\left(2(k+1)\right)} = \frac{1.3.5 \dots (2k-1)}{2.4.6 \dots (2k)}.\frac{2(k+1) - 1}{2(k+1)} > \frac{1}{k+1} . \frac{2(k+1) - 1}{2(k+1)} = \frac{2k +1}{2(k+1)^2} > \frac{1}{k+2}[/tex].

Съгласно ПМИ [tex](\ast)[/tex] е вярно за [tex]n\ge2[/tex]. Аналогично [tex]\frac{1.3.5...(2n-1)}{2.4.6...(2n)} < \frac{1}{\sqrt{3n+1}} \qquad \qquad (\ast \ast)[/tex]

При [tex]n=2[/tex], имаме [tex]\frac{1.3}{2.4} = \frac{3}{8} (< \frac{1}{\sqrt{7}})[/tex]. Нека [tex](\ast \ast)[/tex] е вярно за [tex]n=k > 2[/tex].

[tex]\frac{1.3.5 \dots (2k-1)\left(2(k+1) - 1\right)}{2.4.6 \dots (2k)\left(2(k+1)\right)} < \frac{1}{\sqrt{3k+1}}.\frac{2k +1}{2(k+1)} = \frac{1}{\sqrt{3k+1}} - \frac{1}{2\sqrt{3k +1}(k+1)} < \frac{1}{\sqrt{3k+1}}- \frac{1}{2\sqrt{3k +4}(k+1)} = \frac{2\sqrt{3k+4}(k+1) - \sqrt{3k+1}}{2\sqrt{3k+4}\sqrt{3k+1}(k+1)} = Q[/tex]

Подозираме, че [tex]2\sqrt{3k+4}(k+1) - \sqrt{3k+1} < 2\sqrt{3k+1}(k+1) \qquad (1)[/tex] . Допускаме, че

[tex]2(k+1)(\sqrt{3k +4} - \sqrt{3k+1}) < \sqrt{3k+1} \Leftrightarrow 2(k+1) > \frac{\sqrt{3k+1}}{\sqrt{3k+4} - \sqrt{3k+1}} = \frac{\sqrt{3k+1}\left( \sqrt{3k+4} + \sqrt{3k+1}\right)}{3} \Leftrightarrow 3k+5 > \sqrt{(3k+1)(3k+4)}[/tex]

Повдигаме двете страни на последното неравенство на квадрат, имаме

[tex]9k^2 + 30k + 25 > 9k^2 + 15k + 4 \Leftrightarrow 15k + 21 > 0[/tex] или с други думи подозренията ни се оказаха верни. Предивд [tex](1)[/tex] имаме [tex]Q < \frac{1}{\sqrt{3n +4}}[/tex]

Отново съгласни ПМИ [tex](\ast \ast)[/tex] е вярно за [tex]n \ge 2[/tex].


-T

[kameliya]

Благодаря много за решението

[Гост1]

Вижте тук. Тази задача е по-слабо неравенство от публикуваното в настоящата тема. Но опитайте се да докажете нея по индукция. Като използвате за хипотеза нейното твърдение.