Достатъчно ли е доказателството?

[fmi-kn]

Здравейте,
Затруднява ме доказателството на една тривиална задачка :

Нека А е множество от реални числа. Да се докаже, че А НЕ е ограничено отдолу тогава и само тогава, когато съществува редица [tex]a_{n}[/tex] c A, която дивергира към [tex]-\infty[/tex] .

Доказателство(предполагаемо ):
Избираме си някакво число C<0 .

=> )
Тъй като A не е ограничено отдолу, то съществува n такова, че за всяко n[tex]\in[/tex]N => , че [tex]a_{n}[/tex]<C => съществува {[tex]{a_{n}}[/tex]}[tex]^{\infty }_{n=1}[/tex] c A , т.е. [tex]a_{n}[/tex] c A дивергира към [tex]-\infty[/tex].

<= )
Съществува {[tex]{a_{n}}[/tex]}[tex]^{\infty }_{n=1}[/tex] c A , така че [tex]a_{n}[/tex] дивергира към [tex]-\infty[/tex] =>, че винаги ще има n, такова че за всяко C, x < C, т.е. A не е ограничено отдолу.


Достатъчно ли е според Вас доказателството, a ако не е - какво трябва да се допише/промени, за да бъде максимално точно?

[Гост]

Здрасти.
Трябва да разбираш добре две неща, за да решиш задачката. Едното е дефиницията на ограничено отдолу множество, другото е дефиницията на клонене на редица към -∞. Също да можеш да формулираш отрицание на твърдение.

[fmi-kn]

Дефинициите ги разбрах, но проблемът ми е доказателствата на елементарни задачи от типа "1.а=а?" ...

Та...ако някой има някакви идейки, моля да ги сподели, защото започвам да се чувствам като идиот ...

[Гост]

Добре тогава, щом твърдиш че си разбрал, почваме едно по едно. Кое е отрицанието на твърдението "Множеството А от реални числа е ограничено отдолу"?

[fmi-kn]

А не е ограничено отдолу, ако съществува x [tex]\in[/tex] A, такова че за всяко число C, x < C

[Гост1]

Трудни задачи дава Рибарска, хах!
Това, което си написал като отрицание, не означава нищо. Няма как да имаш фиксирано число, което да е по-малко от всяко число. Идеята е за всяко число C, да съществува x приндалежащо на A, такова, че x<C. Тогава A е неограничено отдолу. Интуитивно означава, каквото и число C да си вземеш, колкото и малко, винаги да има число x приндалежащо на множеството A, което е по-малко от това число C.
За решението на първата част е хубаво да се дефинира по някакъв начин тази редица или евентуално да оцениш отгоре всеки неин член по някакъв начин. За втората, си усетил каква е идеята. Но това, което си написал, също не означава нищо.

[Гост]

не че искам да ви се намесвам в дискусията, но определението за неограничено отдолу не е ли едно и също като написаното над твоето:

-Идеята е за всяко число C, да съществува x приндалежащо на A, такова, че x<C. Тогава A е неограничено отдолу

-А не е ограничено отдолу, ако съществува x[tex]\in[/tex] А, такова че за всяко число C, x < C

[fmi-kn]

И аз мисля, че дефинициите са еднакви ... както и да е...сядам и мисля по промени в доказателството...

[mkmarinov]

не че искам да ви се намесвам в дискусията, но определението за неограничено отдолу не е ли едно и също като написаното над твоето:

-Идеята е за всяко число C, да съществува x приндалежащо на A, такова, че x<C. Тогава A е неограничено отдолу

-А не е ограничено отдолу, ако съществува x[tex]\in[/tex] А, такова че за всяко число C, x < C

Я помисли, едно и също ли е да кажеш:
"За всяко С съществува х такова, че..."
"Съществува х такова, че за всяко С..."
?
Май така написано е по-очебодно не.

Иначе, за решението, в едната посока (А е неограничено отдолу => съществува дивергираща редица) може да вземеш [tex]A_n=\{ x | x \in A, x < -n\}[/tex]. Всяко множество от тази фамилия е непразно и ограничено отгоре. Редицата [tex]a_n=supA_n[/tex] е подмножество на A; освен това е вярно, че [tex]a_n < -n \forall n[/tex] => няма долна граница. Освен това е и монотонна => е дивергираща.
В другата посока, ако приемем, че имаме дивергираща отрицателна редица и А е ограничено отдолу, тогава и редицата е ограничена отдолу, което директно противоречи с това, че е дивергираща.
Разбира се, формалното доказателство (каквото най-вероятно се изисква) изисква повече писане и техника.

[fmi-kn]

Добре схванах разликата между дефинициите ;

Благодаря за доказателството, но не разбрах защо взимаме точно -n ?

п.п. Защо така написано доказателството не би ми свършило работа? Истинското доказателство няма ли да е същото, само че с по-малко думи, нали?

[Гост]

Хайде, тези, които знаят как трябва да се докаже, моля да пишат, че до понеделник не остана много време, все пак домашно трябва да предаваме

бтв - браво за темата- мислех,че съм единственият, който не може да докаже ш*баната задача

[mkmarinov]

Добре схванах разликата между дефинициите ;

Благодаря за доказателството, но не разбрах защо взимаме точно -n ?

п.п. Защо така написано доказателството не би ми свършило работа? Истинското доказателство няма ли да е същото, само че с по-малко думи, нали?

Защото -n е дивергираща към -безкрай редица. Не е нужно да е точно тя - -n^2, -n^3, -ln(n)... все ще свършат работа. А тази редица се явява горна граница на [tex]a_n[/tex].

Не би ти свършило работа, защото само се изказват тези, без да се доказват. Всичките тези неща ([tex]A_n[/tex] е непразно, съществува негов супремум, [tex]a_n<-n[/tex], [tex]a_n[/tex] е монотонна) трябва да се докажат. Доказателствата им не са много трудни (по няколко реда), но изискват да можеш да работиш добре "на ниско ниво".

[Гост]

Ако някой има желание и време моля да напише доказателството,защото утре Рибарска ще реже глави

[Гост]

Ако А е неограничено отдолу, то за всяко реално [tex]C_1[/tex] съществува [tex]x_1\in A[/tex], такова че [tex]x_1<C_1[/tex]. Полагаме [tex]a_1=x_1[/tex]. Избираме произволно [tex]C_2<a_1[/tex]. Понеже А е неограничено отдолу, за така избраното [tex]C_2[/tex] съществува [tex]x_2\in A[/tex], такова че [tex]x_2<C_2[/tex]. Полагаме [tex]a_2=x_2[/tex] и т.н. Получената редица [tex]a_n[/tex] клони към [tex]-\infty[/tex] понеже при произволно реално М, ще се намери член на редицата (следващия който построяваме) който е по малък от М. Обратно, ако в А има редица [tex]a_n[/tex], която клони към [tex]-\infty[/tex], то за всяко реално С, има естествено число k, такова че [tex]a_k<C[/tex]. Понеже [tex]a_k\in A[/tex], виждаме че А е неограничено отдолу.

[Гост]

Редицата [tex]a_n=supA_n[/tex] е подмножество на A;

Това от къде дойде?

[Гост1]

mkmarinov, има малък проблем, не може да сме сигурни, че всички тези [tex]a_n[/tex] са от A. Наистина множествата [tex]A_n[/tex] са подмножества на A, но не сме сигурни дали супремумът на всяко множество [tex]A_n[/tex] е елемент на това множество.
В решението на госта преди мен е хубаво да се дефинира по някакъв начин избора на [tex]C_k[/tex] за [tex]k\ge 2[/tex]. Например [tex]C_k=C_{k-1}-1[/tex]. Защото, както изтъкна... не можем да знаем дали C-тата не се сгъстяват (макар че изборът е в някакъв смисъл произволен). Което също не е проблем, но се изчиства по-трудно.

[fmi-kn]

Така...ще използвам решението на Госта, защото ми се струва най-просто и разбираемо .
Лека вечер и едно голямо БЛАГОДАРЯ на всички, които се опитаха да помогнат .

[Гост]

В решението на госта преди мен е хубаво да се дефинира по някакъв начин избора на [tex]C_k[/tex] за [tex]k\ge 2[/tex]. Например [tex]C_k=C_{k-1}-1[/tex]. Защото, както изтъкна... не можем да знаем дали C-тата не се сгъстяват (макар че изборът е в някакъв смисъл произволен). Което също не е проблем, но се изчиства по-трудно.

Ами то си е казано съвсем ясно, как дефинираме цетата: [tex]C_{k+1}[/tex] го избираме да е по-малко от [tex]a_k[/tex], какво значи дали не се сгъстяват. Просто к-тия член на редицата се получава след к-тото прилагане на дефиницията за неограниченост отдолу .

[Гост1]

Ами просто ти не знаеш как ти се движат C-тата. Колко бързо намаляват. Така ако те питам при избрано [tex]C_1=0[/tex], да ми кажеш точно определено място (индекс) в редицата, откъдето нататък да си сигурен, че всички членове са по-малки от -2012 например, ти няма да можеш. Но ако въведеш [tex]C_k=a_{k-1}-2012[/tex], то ще си сигурен, че [tex]a_2<-2012[/tex]. Разбира се възможно е и [tex]a_1<-2012[/tex], но за това не може да си сигурен. Ясно е обаче, че [tex]a_d<-2012[/tex] за всяко [tex]d\ge 2[/tex]. Това се прави, за да бъде по-ясно всичко. За да имаме ясна стъпка на "движение". За да имаме точно определен минимален "спад" на редицата. Казаното до тук трябва да се приема интуитивно, разбира се (понятията "спад" и "движение" поне аз не съм срещал в подобен контекст).

[Гост]

Да напомним само, че в задачата се иска да се установи съществуване на редица. Никой не е поставял изискване за поведението на тази редица, че да се ангажираме с конкретен избор на константите. Иначе да, при всеки конкретен избор, установяваме съществуването на някаква редица, но такава конкретика не е нужна за целта на задачата. Освен това, дори и в горното доказателство избора на[tex]C_{k+1}[/tex] да са по-малки от [tex]a_k[/tex] е доста конкретен. По този начин дори сме установили, че в А има даже монотонна редица. Иначе ни стига да взимаме само [tex]C_{k+1}<C_k[/tex]. И едно уточнение за горното доказателство. Построената редица клони към -∞, защото за всяко число, има член на редицата, който е по-малък от това число и всички следващи членове ще са по-малки от това число.

[Гост1]

Не виждам защо

Построената редица клони към -∞, защото за всяко число, има член на редицата, който е по-малък от това число и всички следващи членове ще са по-малки от това число.

Все едно ми казваш - "Неограничена е отдолу, защото е неограничена отдолу." Никъде не го доказваш ясно. Проблемът при избора на C-тата e, че не знаем дали не се схождат към някое число. Твоята дефиниция със сигурност не ни казва, че редицата [tex]C_h[/tex] клони към минус безкрайност. В някакъв конкретен случай е възможно тя да се схожда към -1 например. Дефиницията за [tex]a_r[/tex] може да ни показва, че тя е монотонна, но при избор на [tex]C_h[/tex], такъв че [tex]C_h\to -1[/tex], е възможно тя също да е сходяща. (имай предвид, че не знаем нищо за множеството A, освен че е неограничено отдолу. Може да съдържа целия интервал (-1;0) и така нищо няма да ни гарантира, че на някое място вземаме елемент на редицата, който е по-малък от -1 (при горния избор на [tex]C_h[/tex]).

[Гост]

Хубаво. Взимаш си тогава цетата да са членове на някаква редица, която клони към минус безкрайност и готово.