n!/n^n

[Гост]

Пoкажете, че
[tex]\lim\frac{n!}{n^n}=0[/tex]

[Гост]

[tex]0 < \frac{1.2.3 \dots (n-1)n}{n.n.n \dots n.n}= \frac{1}{n} \frac{2.3\dots(n-1)}{n.n\dots n} \le \frac{1}{n}[/tex], понеже [tex]\frac{2.3\dots(n-1)}{n.n\dots n} \le 1[/tex].

След граничен преход при [tex]n\to\infty[/tex]и като отчетем теоремата за двамата полицаи , то [tex]\frac{n!}{n^n} \to 0[/tex].