Граница n!

[Гост1]

Да се пресметне по три начина (поне) [tex]\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n!}[/tex].

[Добромир Глухаров]

[tex]\sqrt[n]{n!}\ge \frac{n}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}}\ge \frac{n}{1+ln(n)}\to +\infty[/tex]

[tex]n!>2\sqrt{n}\(\frac{n}{e}\)^n\Rightarrow \sqrt[n]{n!}>\sqrt[n]{2\sqrt{n}}\frac{n}{e}\to +\infty[/tex]

За трети начин не се сещам .

[Гост1]

Добре! Първото решение може да се направи по-просто като се използва Теорема на Чезаро-Щолц. Другите две решения, който знам, са сравнително елементарни откъм Теория.

[Добромир Глухаров]

Можем да докажем чрез индукция, че [tex]\sqrt[n]{n!}>\frac{n}{3}\to\infty[/tex]

[tex]n=1:\ 1>\frac{1}{3}[/tex]

[tex]n=k:\ \sqrt[k]{k!}>\frac{k}{3}\ \Leftrightarrow\ k!>\(\frac{k}{3}\)^k[/tex]

[tex]n=k+1:\ (k+1)!>(\frac{k}{3}\)^k(k+1)\stackrel{?}{>}\(\frac{k+1}{3}\)^{k+1}[/tex]

[tex]\frac{\(\frac{k}{3}\)^k(k+1)}{\(\frac{k+1}{3}\)^{k+1}}=\frac{3.k^k}{(k+1)^k}=3\(1-\frac{1}{k+1}\)^k>1[/tex]

Последното, понеже редицата с общ член [tex]a_k=\(1-\frac{1}{k+1}\)^k[/tex] е сходяща към [tex]\frac{1}{e}[/tex] чрез стойности, по-големи от [tex]\frac{1}{e}[/tex].