Ред на Тейлър

[Гост]

Здравейте, спешно ми трябва помощ за една задача, която трябва да я реша до съвсем кратък срок, но нещо не се сещам за рационално решение.

Та имаме функцията f(x) = (x.sin(x))/(1+x^2) и трябва да я напишем ред на Тейлър до 5-та степен.
Алгоритъмът за решаването е ясен, но нещо не ми се нрави, че трябва да разписвам всичките пет производни поотделно, ще заеме прекалено много място.

Ако някой може да ми даде идея как да разпиша по-лесно производните, ще съм благодарен.

Поздрави!

[Гост]

Може да използваш теоремата за умножение на редове. Вместо да търсиш пет производни на дадената функция, може да я представиш, като произведение на рационална функция и синус. Рационалната функция я разлагаш лесно в степенен ред, в околност на х=0, понеже се вижда, че тя е сума на геометричен ред, а синуса в ред на Тейлор в околност на х=0 (ред на Маклорен). И двата реда са абсолютно сходящи, така че можеш да приложиш теоремата за умножение на редове и при това, в случая, редът произведение ще бъде абсолютно сходящ, там където са сходящи едновременно и двата реда. Сега отчиташ теоремата, че всеки степенен ред съвпада с реда си на Тейлор около центъра на кръга на сходимост, за да изкараш, че полученият ред произведение е реда на Тейлор, в околност на х=0, за дадената ти функция. Само трябва да отчетеш къде важи разлагането на рационалната функция, защото то ще определи и интервала на сходимост на реда произведение и значи и на реда на Тейлор на дадената ти функция. Обаче имай предвид, че не си уточнил в околност на коя точка ти трябва разлагане. Ако точката не е х=0, а някоя друга, малко трябва да се модифицира рационалната функция, за да излезе пак сума на геомертичен ред в околност на съответната точка. При това интервала на сходимост ще се промени.

[Гост]

Ако точката около която развива не е 0, трябва и развитието на синуса да се промени, да не говорим, че рационалната функция тогава ще трябва и тя да се разлага в произведение на два геометрични реда с комплексни коефициенти. Най-добре, ако точката около която развива не е 0 да си смята производните в съответната точка, а ако е 0, горния начин наистина е доста по-рационален.

[Гост]

Мерси много за отговорите, но все още не сме учили тези неща, а на мен ми се вижда наистина невъзможно да смятам толкова много производни. Преподадоха ни правилото на Лайбниц, но ми се струва, че чрез него не може толкова лесно да се видят точните производни ...