Граница

[Гост]

Затруднявам се как се решава

[tex]\lim_{x\to\infty} (\frac{x^2-x-3}{x^2+3x+2})^x[/tex]

[Anubis]

Много пъти съм го казвал, пак ще го направя, дано има някой, който да го чете. Иначе

наистина жалко, тогава просто е безсмислено да се хабя.

Ако при граничен преход в границата [tex]\lim_{x \to x_{0}} [f(x)]^{g(x)}[/tex] се получи неопределеност [tex][1^{+\infty}][/tex],

то границата е равна на [tex]e^{a}[/tex], където [tex]a = \lim_{x \to x_{0}} g(x)[f(x)-1][/tex].

[tex]\lim_{x \to +\infty}f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2-x-3}{x^2+3x+2} = 1, \quad \lim_{x \to +\infty}g(x) = \lim_{x \to +\infty} x = +\infty[/tex]

И се получава въпросната неопределеност.

[tex]a = \lim_{x \to +\infty} x \left ( \frac{x^2-x-3}{x^2+3x+2} - 1 \right ) = \lim_{x \to +\infty} x \cdot \frac{\cancel{x^2}-x-3-\cancel{x^2}-3x-2}{x^2+3x+2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x(-4x-5)}{x^2+3x+2} = -\lim_{x \to +\infty} \frac{4x^2+5x}{x^2+3x+2} = -4[/tex]

Така [tex]e^{a} = \frac{1}{e^4}[/tex].