Меню
Имаме следната задачка:
Редицата {[tex]a_{n}[/tex]}[tex]^{\infty } _{n=1}[/tex] c R . Да се докаже, че [tex]a_{n}[/tex] ->[tex]\infty[/tex] т.с.т.к. {[tex]a_{n}[/tex]}[tex]^{\infty } _{n=1}[/tex] НЯМА точки на сгъстяване.
Д/во(не е сигурно
):=> ) Допускаме противното - т.е. че има поне 1 точка на сгъстяване . Нека тази точка да е 'а' . Тогава в (а-е, а+е) има безброй членове.
От дефиницията за клоняща към безкрайност редица имаме следната ситуция :
-M .________.[tex]^{a-e}[/tex]__________.[tex]^{a}[/tex]_______________.[tex]^{a+e}[/tex]_______.M
Нека М=max( |a-e| , |a+e| ) + 1 , където '+1' е просто някакво число, за да не се получава припокриване с а+е. Тогава съществува [tex]n_{0}[/tex] и за всяко n > [tex]n_{0}[/tex] => [tex]a_{n}[/tex] > M , т.е получаваме, че [-М, М] съдържа краен брой членове, а по-малкият интервал безбройно много => имаме противоречие //;
<= ) Нека [tex]a_{n}[/tex] няма точка на сгъстяване и т.е трябва да докажем, че за всяко М > 0 съществува [tex]n_{0}[/tex] такова, че n > [tex]n_{0}[/tex] => [tex]a_{n}[/tex] > M.
ИЛИ - Щом няма т. на сгъстяване - пита се колко члена на редицата [tex]a_{n}[/tex] са в интервала [-M; M]? Нека [tex]n_{0}[/tex] е най-глолям индекс и допуснем обратното - безкраен брой членове се намират в [-M, M] . "Разделяме интервала на 2 парчета" и твърдим, че и в 2-те парчета има по безкраен брой членове. Продължаваме да го разделяме и във всеки "малък" интервал, получен от разделянето ще имаме по безброй много членове... Но от лемата за вложените интервали следва, че в този случай трябва да имаме поне 1 т. на сгъстяване => имаме противоречие //;
Проблемът със задачката е, че има много начини да се реши - единият( и може би най-лесният )е с директно прилагане на теоремата на Болцано, но не знам дали ще е достатъчно само с нея и дали Рибарска няма да има нещо против и затова написах варианта по-горе.
Ако смятате,че доказателството има неточности или, че изобщо не е вярно, пишете
.
...
