Граница на сума от реципрочни

[Гост1]

Да се докаже, че редицата [tex]a_n=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i\cdot 2^{i}}[/tex] е сходяща и да се намери границата й.
Търси се "елементарно решение" - без използване на доста сложен материал!

[pipi langstrump]

Най-лесно е като развием ln(1-x) на ред и заместим x c 1/2. Получава се ln 2.

[Гост1]

Да. И аз се помислих, че ще стане по подобен начин, но както казах търсим решение на базата на тривиални факти. Без редове. Може би до по-простите свойства на неперовото число и логаритъма, включително константата на Ойлер-Маскерони!

[Гост]

Е то какво значи на базата на тривиални факти и без редове. То самото неперово число и логаритъм са си редове, както е всъщност с по-голямата част от реалните числа. По-тривиално от това накъде, хехе.

[Гост1]

То ако тръгнем така. Мисля, че се разбира какво имам предвид - решение достъпно за човек, който не знае тази теория. Защото съгласи се - едно е да докажеш, че неперовото число е сбор от реципрочните на факториелите(може да се докаже, като се използва само формалната дефиниция на неперовото число - [tex]\left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/tex]), друго е да кажеш "да развием ...".

[Гост]

Напротив. Обратно. Правилната дефиниция на експонентата е да се зададе като ред, който се оказва абсолютно сходящ в цялата равнина. И въз основа на тази дефиниция човек може да докаже, че (1+z/n)^n клони към е^z. Инак не виждам по какъв разумен начин ще докажеш основното свойство на експонентата, а именно, че e^(z+w)=e^ze^w, докато чрез теоремата за умножение на редове, то се извежда съвсем просто. Изобщо казано, много вредно е това разделяне на редиците от редовете. Може да се каже, че то направо осакатява човек от към правилното разбиране на теорията.

[Гост1]

Можем да дефинираме степенната функция при рационалните числа и като покажем, че е равномерно непрекъсната над затворен интервал, ще докажем, че има непрекъснато продължение над реалните числа. Но за това няма смисъл да се говори. И за ползата от редовете и ненужното им разграничаване. Аз зададох съвсем ясно въпроса си. Ако искате си мислете, че трябва да се направи решение достъпно за човек от първи курс, който е в началото на Анализа и е стигнал до граница на функция.

[mkmarinov]

Искаш да намерим границата на реда без да "ползваме" редове?
Има и решение с "елементарен" анализ, предвид че знаеме как се намира сумата на геометричен р... Извинявам се, безкрайна геометрична прогресия.

[tex]f(x)=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{x^i}{i2^i}[/tex]
[tex]f'(x)=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{x^{i-1}}{2^i}=\frac{1}{2}(\sum_{i=0}^{\infty} (\frac{x}{2})^i )=\frac{1}{2-x}, x \in (-2,2)[/tex]
[tex]f(x)=-ln|2-x|+C[/tex]; [tex]f(0)=0 => C=ln2[/tex]
[tex]f(1)=-ln1+ln2=ln2[/tex]

[Гост]

Хехе, сега сигурно ще се окаже, че и производни не се позволяват. Еми то затова някои задачи се показват, когато им дойде времето. Все едно да тръгнеш да търсиш сумата на реципрочните на квадратите на естествените числа. Ми просто нямаш нужния апарат. А това за продължението нещо не стана много ясно, ако може малко по-конкретно.

[pipi langstrump]

Може и да има по-"елементарно" решение, не се знае.
Например границата [tex]\lim\sum_{\nu = 1}^{n}\frac{1}{n+\nu}[/tex] може да се намери най-лесно с интеграл, но има и решение, което използва константата на ойлер-маскерони.

[Гост]

Ами че то тази константа, за която толкова настоявате, че била елементарно решение, само за да дефинирате самата редица, на която тя е граница, трябва да се знае какво е логаритъм, което минава през експонента и един куп теореми за функции, така че в общи линии пак се опираме на апарат, с който не разполагаме ако стоим само на редици.

[pipi langstrump]

Ами че то тази константа, за която толкова настоявате, че била елементарно решение, само за да дефинирате самата редица, на която тя е граница, трябва да се знае какво е логаритъм, което минава през експонента и един куп теореми за функции, така че в общи линии пак се опираме на апарат, с който не разполагаме ако стоим само на редици.

Експонентата е е^x, а е се дефинира като граница на една редица. Логаритъм се учи в десети клас. Какви един куп теореми сънуваш?


Пресметнете [tex]\lim n(\ln 2 - \sum_{\nu=1}^{n}\frac{1}{\nu2^{\nu}} )[/tex] и
[tex]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^22^{n}[/tex]

[Гост]

Личи си, че добре разбираш какво е експонента и логаритъм, хехе. Това изчерпи темата.

[pipi langstrump]

Личи си, че добре разбираш какво е експонента и логаритъм, хехе. Това изчерпи темата.

Ми айде кажи какво е експонента и логаритъм, да не забравиш и купа с теореми, дето го сънуваш.

[Гост1]

Решението на mkmarinov, е добър опит за заобикаляне, но все пак не е това, което търся.
За продължението. Ами ако една функция е равномерно непрекъсната над краен затворен интервал на рационалните числа, тя може да бъде продължена над реалните в непрекъсната функция. Така може да се дефинира степенна функция. Разбира се трябва първо да сме я дефинирали при рационалните числа, което е нормално.
Експонента (ако се абстрахираме от горната дефиниция) можа да се дефинира като граница на редицата [tex]a_n=\left(1+\frac{x}{n}\right)^n[/tex]. Логаритъм може да се дефинира като граница на [tex]a_n=n\left(\sqrt[n]{x}-1)[/tex]. С тези дефиниции могат да се докажат всички основни свойства на двете функции.
pipi langstrump, точно това имам предвид. Има някой неща, който могат да се докажат с по-тежък материал, но могат и да се докажат с по-преки факти.
Но защо задълбаваме толкова. Попитах за решение, което е просто. Засега не е публикувано такова (ако въобще съществува).

[Гост]

Личи си, че добре разбираш какво е експонента и логаритъм, хехе. Това изчерпи темата.

Ми айде кажи какво е експонента и логаритъм, да не забравиш и купа с теореми, дето го сънуваш.

За експонентата, дефиницията я казах, при това аз обясних една от основните ползи на тази дефиниция. Трябва обаче човек предварително да си подотви адекватно почвата, като разглежда първо редици и редове от комплексни числа, паралелно, (и анализира различията, там където се появяват), защото в крайна сметка, сходимостта на един ред почива върху сходимостта на една редица. Да се бяга от редовете с аргумента, че те били много сложна теория не е особено адекватно.
Много ми е интересно да видим разписано тук доказателството на основното свойство на експонентата в комплексния случай, чрез дефиницията, която ти и първия гост цитирате, също и за логаритъма, също и непрекъснатостта на двете функции. Между другото и това, че двете са взаимно обратни, също ще е интересно да видим как доказвате на тази база.

Инак за логаритъма, за да се дефинира на реална променлива, трябва човек да е доказал, че експонентата е непрекъсната, а в случая на реална променлива и стого монотонна функция, както и теоремата, че една непрекъсната функция взима всяка стойност между всеки две различни функционални стойности, което пък стъпва на теоремата за запазване на знака на една непрекъсната реална функция в околност на точка в която, съответната функционална стойност е ненулева, и теоремата за съществуване на нула на непрекъсната реална функция, в затворен интервал, която в краищата на интервала приема стойности с различни знаци. Последните две стъпват съответно на дефиницията на непрекъснатост на функция в точка и принципа за непрекъснатост, който е една от аксиомите на реалните числа, всъщност тази, която отличава реалните числа от всички останали наредени полета. За да докаже човек строга монотонност, на експонентата в реалния случай, ако не иска да намесва теореми за производни, трябва да си поиграе малко, като стъпи на основното свойство на експонентата и теоремата за граничен преход в неравенства. Оттук между другото ще изкара че e^x>0 за реални х. За да докаже непрекъснатост, на експонентата, (върви и за комплексния случай) достатъчно е човек да докаже непрекъснатост в нулата, което може да стане директно с изследването на дефиниционния ред ∑z^k/k!. След тази подготовка, вече човек може да докаже, че експонентата на реална променлива, бидейки стого монотонна и непрекъсната функция, взима всяка положителна стойност, което означава че уравнението y=e^x има единствено решение за всяко y>0. Е именно това решение се означава с ln y и се нарича логаритъм.
Не знам кой сънува, но да излизаш на глава с аргумента, че логаритъма се учи в десети клас е меко казано смешно и неадекватно.

За продължението. Ами ако една функция е равномерно непрекъсната над краен затворен интервал на рационалните числа, тя може да бъде продължена над реалните в непрекъсната функция. Така може да се дефинира степенна функция. Разбира се трябва първо да сме я дефинирали при рационалните числа, което е нормално.

Нещо май не ми става ясно на кое казваш степенна функция, на x^a или на a^x?

[pipi langstrump]

Много ми е интересно да видим разписано тук доказателството на основното свойство на експонентата в комплексния случай, чрез дефиницията, която ти и първия гост цитирате, също и за логаритъма, също и непрекъснатостта на двете функции. Между другото и това, че двете са взаимно обратни, също ще е интересно да видим как доказвате на тази база.

то това си следва от дефиницията [tex]e^x \equiv e^{\lim x_n} \,:= \lim e^{x_n}[/tex] и от свойствата на границите, а логаритъма по дефиниция е обратната на е^x.
Ако имаш предвед чрез дефинициите на гост1, ще трябва да видя дали имам батерии на фотоапарата да ти снимам от сборника, където са доказани тия неща. Там функциите lim(1+x/n)^n и lim n(sqrt^n(x) - 1) са означени Е(x) и L(x); после се доказва, че имат всички основни свойства, които имат експонентата и логаритъма и накрая се доказва, че Е(x) = exp(x) и L(x) = ln x

[mkmarinov]

Май не знаеш какво е просто! Това че едно нещо се ползва наготово и недоказано в училище не го прави "по-просто" от формално взетият материал. А решение без анализ съм сигурен, че не съществува, ако такова търсиш .

Точна дефиниция на експонента и логаритъм за реални числа в учебник за 10 клас не съм виждал - най-близкото е: нека [tex]a_n, b_n[/tex] са съответно рационални приближения с остатък и недостиг на реалното число [tex]x[/tex]. Тогава [tex]e^x[/tex] е общата граница на редиците [tex]e^{a_n},e^{b_n}[/tex]. Която съществува по теоремата на Кантор.
На тази теорема, че всяка непрекъсната над рационалните числа функция, има единствено непрекъснато продължение над реалните, ми е инересно да ѝ видя доказателството - и колко "елементарно" ще е то.

[grav]

На тази теорема, че всяка непрекъсната над рационалните числа функция, има единствено непрекъснато продължение над реалните, ми е инересно да ѝ видя доказателството - и колко "елементарно" ще е то.

На мен пък ми е интересно да видя дефиниция на "функция непрекъсната над рационалните числа"!

[pipi langstrump]

Май не знаеш какво е просто! Това че едно нещо се ползва наготово и недоказано в училище не го прави "по-просто" от формално взетият материал. А решение без анализ съм сигурен, че не съществува, ако такова търсиш .

Точна дефиниция на експонента и логаритъм за реални числа в учебник за 10 клас не съм виждал - най-близкото е: нека [tex]a_n, b_n[/tex] са съответно рационални приближения с остатък и недостиг на реалното число [tex]x[/tex]. Тогава [tex]e^x[/tex] е общата граница на редиците [tex]e^{a_n},e^{b_n}[/tex]. Която съществува по теоремата на Кантор.
На тази теорема, че всяка непрекъсната над рационалните числа функция, има единствено непрекъснато продължение над реалните, ми е инересно да ѝ видя доказателството - и колко "елементарно" ще е то.

Не знам каква е тая теорема на кантор, но има една теорема, според която всяка монотонна и ограничена редица е сходяща. е^(x_n) e монотонна, защото е^x e растяща за рационални числа; освен това от това, че х_n e сходяща и следователно ограничена, т.е. х_n<K (К е рационално) и от растенето на е^x, следа е^x_n < e^K. Редицата е^x_n е ограничена, монотонна, значи е сходяща. Също ако y_n e друга редица от рационални числа, която клони към x едва ли ще е толкова трудно да докажем, че е^{y_n} клони към е^x

[Гост]

то това си следва от дефиницията [tex]e^x \equiv e^{\lim x_n} \,:= \lim e^{x_n}[/tex] и от свойствата на границите, а логаритъма по дефиниция е обратната на е^x.
Ако имаш предвед чрез дефинициите на гост1, ще трябва да видя дали имам батерии на фотоапарата да ти снимам от сборника, където са доказани тия неща. Там функциите lim(1+x/n)^n и lim n(sqrt^n(x) - 1) са означени Е(x) и L(x); после се доказва, че имат всички основни свойства, които имат експонентата и логаритъма и накрая се доказва, че Е(x) = exp(x) и L(x) = ln x

Да, само дето какво е exp(x) и ln(x) изобщо не е ясно. Отговорът "Ми знаем ги от училище." не е адекватен. Обратно, всички тия неща биха могли да служат за дефиниция за експонента и логаритъм, но това е доста изсмукан от пръстите подход, който върви само в много частен случай. Това е остарял подход, deprecated, ако мога така да се изразя.
Иначе определено нямам предвид да ми снимаш страници от сборника на Проданов, по-скоро идеята беше да се обясни идеологически, но както се вижда, май е безсмислено, особено предвид отговора който даваш, от който личи, че изобщо даже не си разбрал и въпроса.

[pipi langstrump]

Да, само дето какво е exp(x) и ln(x) изобщо не е ясно. Отговорът "Ми знаем ги от училище." не е адекватен. Обратно, всички тия неща биха могли да служат за дефиниция за експонента и логаритъм, но това е доста изсмукан от пръстите подход, който върви само в много частен случай. Това е остарял подход, deprecated, ако мога така да се изразя.
Иначе определено нямам предвид да ми снимаш страници от сборника на Проданов, по-скоро идеята беше да се обясни идеологически, но както се вижда, май е безсмислено, особено предвид отговора който даваш, от който личи, че изобщо даже не си разбрал и въпроса.

Мисля, че съм дал дефиниция и за експонента и за логаритъм. Вече да се докаже например, че дефинициите са коректни е друг въпрос, но "идеологически" на мен тия дефиниции ми се струват най-разбираеми и естествени.

Сега виждам, че си питал за комплексния случай, което изобщо не ми е ясно защо го намесваш.

Един съвет - ако искаш да ти се отговаря ясно и точно, задавай ясни точни и кратки въпроси, защо никой не обича да чете чаршафи.

[mkmarinov]

На тази теорема, че всяка непрекъсната над рационалните числа функция, има единствено непрекъснато продължение над реалните, ми е инересно да ѝ видя доказателството - и колко "елементарно" ще е то.

На мен пък ми е интересно да видя дефиниция на "функция непрекъсната над рационалните числа"!

Дефиницията за непрекъснатост нито споменава ДМ на функцията, нито има претенции към такова.
Ето, да си припомниш:
[tex]\forall \epsilon > 0 \forall x,y \in \mathbb{Q} \exists \delta ( |x-y|<\delta => |f(x)-f(y)| < \epsilon )[/tex]
Въпрос за домашно: вярно ли е, че всяка функция, дефинирана над целите числа, е непрекъсната.

pipi langstrump говоря за теоремата на Кантор за вложените интервали - ако имаш безброй много вложени един в друг интервали (подмножества на реалните числа), то тяхното сечение е непразно; още повече, ако дължината на интервалите клони към 0, то сечението им е единствено реално число.

[Гост]

Сега виждам, че си питал за комплексния случай, което изобщо не ми е ясно защо го намесваш.

Един съвет - ако искаш да ти се отговаря ясно и точно, задавай ясни точни и кратки въпроси, защо никой не обича да чете чаршафи.

Вижда се, че много неща не са ти ясни, хехе. А и съветчета няма нужда да ми даваш.

[pipi langstrump]

Много ми е интересно да видим разписано тук доказателството на основното свойство на експонентата в комплексния случай, чрез дефиницията, която ти и първия гост цитирате, също и за логаритъма, също и непрекъснатостта на двете функции. Между другото и това, че двете са взаимно обратни, също ще е интересно да видим как доказвате на тази база.

Не знам кое е това "основно свойство", но да предположим, че е [tex]e^{z_1 + z_2} = e^{z_1z_2}[/tex], дето ако дефинираме експонентата като ред, можем да го докажем с теоремата за умножение на редове

Дефинираме [tex]e^{z} := \lim \left(1 + \frac{z}{n} \right)^n[/tex].
Може да се докаже, че [tex]\lim \left(1 + \frac{z}{n} \right)^n = e^x(cos y + i sin y)[/tex]. Доказателство - тука на стр. 21
Тогава [tex]e^{z_1+z_2} = \lim \left(1 + \frac{(x_1+x_2) + i(y_1 + y_2)}{n} \right)^n= e^{x_1+x_2}(cos (y_1+y_2) + i sin(y_1+y_2)) = e^{x_1}e^{x_2}(cos y_1 + i sin y_1)(cos y_2 + i sin y_2) = \lim \left(1 + \frac{z_1}{n} \right)^n\lim \left(1 + \frac{z_2}{n} \right)^n = e^{z_1}e^{z_2}][/tex]

За непрекъснатостта трябва само да докажем, че за всяка сход. редица [tex]z_k[/tex] e изпълнено [tex]\lim_{k}e^{z_k} = e^{\lim z_k}[/tex] (това мисля, че се казваше дефиниция за непрекъснатост на хайне, но може и да се лъжа). Имаме
[tex]\lim_{k}e^{z_k} = \lim_{k} \lim_{n}\left(1 + \frac{z_k}{n} \right)^n = \lim_{k}e^{x_k}(cos y_k + i sin y_k)= e^x(cos y + i sin y) = e^z = e^{\lim_{k}z_k}[/tex]

За логаритъма също би трябвало да стане, като използваме горното равенство.