Проблем с определяне на границите на 2 двойни интеграла

[Гост]

Надявам се, че някой може да ми помогне със следните 2 задачи:

Задача 1. [tex]\int \int 2xydxdy[/tex] при D:{[tex]x=0;y=0;y=1;x+y=2[/tex]}

Задача 2. [tex]\int \int (x+2y+4xy)dxdy[/tex] при D:{[tex]y=2x;y=[/tex][tex]x^{2}[/tex]}

Проблема ми е там, че не мога да определя D, колкото и нелепо да звучи и от там не мога да направя чертежа и да реша по-нататък интегралите.

[Гост]

Някой ще ми помогне ли, че задачите са от курсова работа, на която срокът за предаване наближава?

[ferry2]

На първа задача границите почти са ти определени. Остава от последното равенство да изразиш [tex]x = 2-y[/tex] и границите ще станат [tex]0 \le y \le 1[/tex] и [tex]0 \le x \le 2-y[/tex].

За втората по същия начин. За y границите вече са ти определени, остава да заместиш y от едното в другото равенство и да видиш какво се получава за x. Това е .

[Гост]

На първа задача границите почти са ти определени. Остава от последното равенство да изразиш [tex]x = 2-y[/tex] и границите ще станат [tex]0 \le y \le 1[/tex] и [tex]0 \le x \le 2-y[/tex].

За втората по същия начин. За y границите вече са ти определени, остава да заместиш y от едното в другото равенство и да видиш какво се получава за x. Това е .

Пробвах да реша задачата с тези граници, но нещо не мога да получа отговора, който е даден че е [tex]\frac{11}{12}[/tex].
За другата задача отговора би трябвало да е [tex]\frac{33}{140}[/tex].

[Гост]

Остава 1 седмица до края на срока за решаването на тези задачи, така че бих искал някой ако може да ми помогне, защото вече опитах безброй пъти и все не стигам до отговора

[Гост]

Еми значи трябва да запълниш малко дупки от аналитична геометрия. Трябва да си нарисуваш всички криви, зададени със съответните уравнения и после да си защриховаш областта, която се ограничава от тях. На първата задачка кривите са всъщност прави линии и областта ти е един триъгълник, на втората имаш участък между права линия и парабола. Ама трябва малко да се понапънеш да ги нарисуваш. После като ги нарисуваш избираш според разположението на картинката по коя променлива ще интегрираш първо, за да ти е по проста сметката. Освен това, горе вече един колега ти направи едната задачка. Пък ако нещата опират само до отговора, едва ли някой ще ти се заяде, ако си показал че си разбрал как се случват нещата.

[Гост]

Еми значи трябва да запълниш малко дупки от аналитична геометрия. Трябва да си нарисуваш всички криви, зададени със съответните уравнения и после да си защриховаш областта, която се ограничава от тях. На първата задачка кривите са всъщност прави линии и областта ти е един триъгълник, на втората имаш участък между права линия и парабола. Ама трябва малко да се понапънеш да ги нарисуваш. После като ги нарисуваш избираш според разположението на картинката по коя променлива ще интегрираш първо, за да ти е по проста сметката. Освен това, горе вече един колега ти направи едната задачка. Пък ако нещата опират само до отговора, едва ли някой ще ти се заяде, ако си показал че си разбрал как се случват нещата.

Работата е там, че рисувам картинката, правя сметките, но така и не се получава отговора, а трябва да се получи, защото тези задачи (както споменах в по-горен пост) са от курсова работа, на която имам дадени крайни отговори на всяка задача и няма как да представя решение, което не съответства на дадения краен отговор, защото това означава, че задачата не е вярна.
Опитвах много пъти да реша задачите, но така и не получавам въпросните отговори затова помолих за помощ в този форум за да разбера дали аз бъркам някъде или нещо със задачите не е наред.
Ще съм благодарен ако някой ми даде решението на задачите за да видя как стават, да ми се изяснят и в бъдеще да нямам проблем с такива задачи

[pipi langstrump]

Ето ти първата:

[tex]\int_{D}^{ } \int_{}^{ }2xydxdy[/tex]

[tex]D:[/tex]
[tex]0\le x\le 2-y[/tex]
[tex]0\le y\le 1[/tex]

[tex]\int_{D}^{ } \int_{}^{ }2xydxdy = 2\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{2-y}xydx\right)dy = 2\int_{0}^{1}y\left(\int_{0}^{2-y}xdx\right)dy = \int_{0}^{1}y(2-y)^2dy =[/tex]

[tex]\int_{0}^{1}(4y - 4y^2 + y^3)dy = \frac{4}{2} - \frac{4}{3} + \frac{1}{4} = \frac{11}{12}[/tex]

За втората сам - множеството ти е
[tex]D:[/tex]
[tex]0\le x\le 2[/tex]
[tex]x^2\le y\le 2x[/tex]
като този път реда на интегриране ще е dydx

[Гост]

Ето ти първата:

[tex]\int_{D}^{ } \int_{}^{ }2xydxdy[/tex]

[tex]D:[/tex]
[tex]0\le x\le 2-y[/tex]
[tex]0\le y\le 1[/tex]

[tex]\int_{D}^{ } \int_{}^{ }2xydxdy = 2\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{2-y}xydx\right)dy = 2\int_{0}^{1}y\left(\int_{0}^{2-y}xdx\right)dy = \int_{0}^{1}y(2-y)^2dy =[/tex]

[tex]\int_{0}^{1}(4y - 4y^2 + y^3)dy = \frac{4}{2} - \frac{4}{3} + \frac{1}{4} = \frac{11}{12}[/tex]

За втората сам - множеството ти е
[tex]D:[/tex]
[tex]0\le x\le 2[/tex]
[tex]x^2\le y\le 2x[/tex]
като този път реда на интегриране ще е dydx

Благодаря ти за първата задача, защото в нея имах проблем с пресмятане на интеграла.
За 2-ра задача границите си ги намерих късно миналата вечер след много размисли и мъки, но пак се появява проблем при пресмятането на интеграла и получавам стойност близка до тази на знаменателя в отговора, но в числителя, а знаменателят го съкращавам. Не знам къде бъркам, но ето какъв интеграл получих:

[tex]6\int_{0}^{2} 5x(\frac{4x^2}{2}-\frac{x^4}{2})dx[/tex]

[Гост]

И този отговор, който е от wolfram също не мога да го получа. Явно бъркам някъде при пресмятането на интеграла, а вече и времето ме притиска, защото срока за предаване на задачите е съвсем близо ...

[pipi langstrump]

Имаме [tex]\int_{x^2}^{2x} (x+2y+4xy)dy = x(2x - x^2) + (4x^2 - x^4) + 2x(4x^2 - x^4) = -2x^5 - x^4 + 7x^3 + 6x^2[/tex]
[tex]\int_{0}^{ 2} (-2x^5 - x^4 + 7x^3 + 6x^2)dx = -2\frac{2^6}{6} - \frac{2^5}{5} + 7\frac{2^4}{4} +6\frac{2^3}{3} = -\frac{2^6}{3} - \frac{2^5}{5} + 7.2^2 + 2^4 = 2^2(-2^3(\frac{2}{3} + \frac{1}{5}) + 7 + 2^2)) = 4(-\frac{ 8.13}{15} + 11)= \frac{4.61}{15} = \frac{244}{15}[/tex]

[Гост]

Имаме [tex]\int_{x^2}^{2x} (x+2y+4xy)dy = x(2x - x^2) + (4x^2 - x^4) + 2x(4x^2 - x^4) = -2x^5 - x^4 + 7x^3 + 6x^2[/tex]
[tex]\int_{0}^{ 2} (-2x^5 - x^4 + 7x^3 + 6x^2)dx = -2\frac{2^6}{6} - \frac{2^5}{5} + 7\frac{2^4}{4} +6\frac{2^3}{3} = -\frac{2^6}{3} - \frac{2^5}{5} + 7.2^2 + 2^4 = 2^2(-2^3(\frac{2}{3} + \frac{1}{5}) + 7 + 2^2)) = 4(-\frac{ 8.13}{15} + 11)= \frac{4.61}{15} = \frac{244}{15}[/tex]

Грешката ми е била в пресмятането на тази част 4xy
Благодаря ти за помощта, благодарение на теб разбрах задачите и вече нямам проблем с тях, защото реших 1-2 подобни примера без грешка