Неопределени интеграли

[Treator]

1. Неопределен интеграл от [tex]1/sqrt(5x^2-3)dx[/tex]
2. Неопределен интеграл от [tex][cotg^2x+x*ln(1+x)]dx[/tex]

[ammornil]

[tex]\int \frac{1}{\sqrt{5x^2-3}}dx=\frac{1}{\sqrt{5}}.\int \frac{d(\sqrt{5}x)}{\sqrt{((\sqrt{5}x)^2-3)}}=\frac{1}{\sqrt{5}}.ln|\sqrt{5}x+\sqrt{5x^2-3}|+C[/tex]

[s.karakoleva]

[tex]I=\int cotg^2x \, dx+\int x\ln(1+x)\, dx=I_1+I_2\qquad[/tex] (ДС: [tex]x> -1[/tex])
[tex]I_1=\int\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\, dx=\frac{1-sin^2 x}{sin^2 x}\, dx=\int \left(\frac{1}{\sin^ x}-1\right)\, dx=-cotg\, x-x[/tex]

[tex]I_2=\int x\ln (1+x)\, dx=\int\ln (1+x)d\frac{x^2}{2}=\frac{x^2}{2}\ln (1+x)-\int\frac{x^2}{2}d\ln(1+x)=\frac{x^2}{2}\ln (1+x)-\frac12\int x^2d\ln (1+x)[/tex]

[tex]=\frac{x^2}{2}\ln (1+x)-\frac12\int\frac{x^2}{1+x}\, dx=\frac{x^2}{2}\ln (1+x)-\frac12\int\frac{x^2-1+1}{x+1}\, dx[/tex]

[tex]=\frac{x^2}{2}\ln (1+x)-\frac12\int\frac{(x-1)\cancel{(x+1)}}{\cancel{x+1}}\,dx-\frac12\int\frac{dx}{x+1}=\frac{x^2}{2}\ln (1+x)-\frac14x^2+\frac12x-\frac12\ln (x+1)+C[/tex]

[tex]I=-cotg x-\frac12x+\frac{x^2-1}{2}\ln (1+x)-\frac14x^2+C[/tex]