Неопределен интеграл

[Гост]

[tex]\int_{}^{}\frac{sin^{2}x}{1+sin^{2}x } dx[/tex]
Бихте ли ми помогнали ?

[Гост]

Извинете ,че се повтарям но поне жокерче ми дайте,изключително важно ми е да я разбера.

[WEBER]

Това е много тежка сметка, сигурен ли си, че няма сгрешен знак примерно?

[ins-]

Ако разделим на [tex]sin^2 x[/tex] числителя и знаменателя - не излиза ли?

[Consigliere-]

Така е ,примерна задача за изпита в УАСГ от доц.Стефанов

[Гост]

[tex]\frac{sin^2x}{1+sin^2x}=\frac{sin^2x}{2sin^2x+cos^2x}=\frac{\tan^2x}{2\tan^2x+1}[/tex]. Полагаш [tex]\tan x=t[/tex]и тогава трябва да интегрираш рационалната функция [tex]\frac{t^2}{(1+2t^2)(1+t^2)}[/tex], което става чрез интегриране на елементарни дроби.

[pipi langstrump]

[tex]\int \frac{sin^{2}x}{1+sin^{2}x } dx = -\int \frac{d \operatorname{cotg}x}{ \frac{1}{sin^4{x}} + \frac{1}{sin^2{x}} } = -\int \frac{d \operatorname{cotg}x}{ (\operatorname{cotg}^2 x + 1)^2 + (\operatorname{cotg}^2x + 1)} =[/tex]

[tex]-\int \frac{d \operatorname{cotg}x}{ (\operatorname{cotg}^2 x + 1)(\operatorname{cotg}^2 x + 2)} = -\int\frac{d \operatorname{cotg}x}{ \operatorname{cotg}^2 x + 1} + \int\frac{d \operatorname{cotg} x}{ \operatorname{cotg}^2 x + 2} = x + \frac{1}{\sqrt{2} }\operatorname{arctg}{\frac{\operatorname{cotg}x}{\sqrt{2}}} + C[/tex]

[matst]

[tex]\int \frac{sin^2 x}{1+sin^2 x} dx= \int \left( \frac{sin^2 x+1}{1+sin^2 x} - \frac{1}{1+sin^2 x}\right)dx=\int 1 dx - \int \frac{1}{1+sin^2 x} dx[/tex]

[tex]=x - \int \frac{1}{cos^2 x+2 sin^2 x} dx=x - \int \frac{1}{1+2 tg ^2 x} d tg x= x - \frac{1}{\sqrt{2}} arctg \frac{tg x}{\sqrt{2}}+C[/tex]