Граница (n^3 - n + 1/n^3 + n + 1)^3n

[petq90]

Здравейте!

Може ли някой да ми реши задачата и да ми я обясни Благодаря предварително!

[Xixibg]

[tex]lim_{n->\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e[/tex]
[tex]lim_{n->\infty}(1-\frac{1}{n})^n=\frac{1}{e}[/tex]
[tex]lim_{n->\infty}\frac{(n^3-n+1)^{3n^2}}{(n^3+n+1)^{3n^2}}=lim_{n->\infty}\frac{(n^3)^{3n^2}(1-\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3})^{3n^2}}{(n^3)^{3n^2}(1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3})^{3n^2}}=lim_{n->\infty}\frac{[(1-\frac{1}{n^2})^{n^2}]^3}{[(1+\frac{1}{n^2})^{n^2}]^3}=\frac{\frac{1}{e^3}}{e^3}=\frac{1}{e^6}[/tex]

[petq90]

Много благодаря !! :]

[drago]

...[tex]=lim_{n->\infty}\frac{(n^3)^{3n^2}(1-\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3})^{3n^2}}{(n^3)^{3n^2}(1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3})^{3n^2}}=lim_{n->\infty}\frac{[(1-\frac{1}{n^2})^{n^2}]^3}{[(1+\frac{1}{n^2})^{n^2}]^3}[/tex]...

И къде изпаднаха двата [tex]\frac{1}{n^{3}}[/tex] отгоре и отдолу ?

[Anubis]

Драго, ето какво ни учиха в 1-ви курс по ДИС 1 (преди около 3 години значи).

[tex]\lim_{n \to +\infty} \left ( \frac{n^3-n-1}{n^3+n+1} \right )^{3n^2} \quad \left [ 1^{+\infty} \right ][/tex]

[tex]f(n) = \frac{n^3-n-1}{n^3+n+1}, \quad g(n) = 3n^2[/tex]

Границата е равна на [tex]e^{a}, \quad a = \lim_{n \to +\infty} g(n) \left [ f(n)-1 \right ][/tex].

[tex]a = \lim_{n \to +\infty} \quad 3n^2 \cdot \frac{n^3-n-1-(n^3+n+1)}{n^3+n+1} = \lim_{n\to +\infty} \quad 3n^2 \cdot \frac{\cancel{n^3}-n-1-\cancel{n^3}-n-1}{n^3+n+1} = \lim_{n\to +\infty} \frac{-3n^2(2n+2)}{n^3+n+1} \sim \lim_{n \to +\infty} \quad \frac{-6n^3}{n^3} = -6[/tex]

[tex]e^a = \frac{1}{e^6}[/tex]

[Xixibg]

...[tex]=lim_{n->\infty}\frac{(n^3)^{3n^2}(1-\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3})^{3n^2}}{(n^3)^{3n^2}(1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3})^{3n^2}}=lim_{n->\infty}\frac{[(1-\frac{1}{n^2})^{n^2}]^3}{[(1+\frac{1}{n^2})^{n^2}]^3}[/tex]...

И къде изпаднаха двата [tex]\frac{1}{n^{3}}[/tex] отгоре и отдолу ?

Искаш да докажем ,че [tex]lim_{n->\infty}(1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3})^{n^2}=e[/tex]?

[tex]\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}=\frac{1}{y} ; =>y=\frac{n^3}{n+1}[/tex]

[tex]=>lim_{n->\infty }y=lim_{n->\infty }\frac{n^3}{n+1}=lim_{n->\infty }\frac{n.n^2}{n(1+\frac{1}{n})}=n^2=\infty[/tex] С това би трябвало да си съгласен.

[tex]lim_{n->\infty}(1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3})^{n^2}=lim_{y->\infty }(1+\frac{1}{y})^{y}=e[/tex]

[inveidar]

Мен пък преди 34 години са ме учили така:

[tex]\lim_{n \to +\infty}\left ( \frac{n^3-n-1}{n^3+n+1} \right )^{3n^2}=\lim_{n \to +\infty}\left ( \frac{n^3+n+1-2n-2}{n^3+n+1} \right )^{3n^2}=[/tex]
[tex]=\lim_{n \to +\infty}\left (1+\frac{-2(n+1)}{n^3+n+1 } \right )^{3n^2}=\lim_{n \to +\infty}\left(1+\frac{\frac{-6n^2(n+1)}{ n^3+n+1} }{3n^2 } \right )^{3n^2}=e^{\lim_{n \to +\infty}\frac{-6n^2(n+1)}{ n^3+n+1} }=e^{-6}[/tex]

Теорема: Ако [tex]\lim_{n \to +\infty}x_n=x[/tex], то [tex]\lim_{n \to +\infty}\left (1+\frac{x_n}{n }\right )^n=e^x[/tex]

[inveidar]

[tex]lim_{n->\infty}(1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3})^{n^2}=lim_{y->\infty }(1+\frac{1}{y})^{y}=e[/tex]

[tex]y=\frac{n^3}{ n+1}=\frac{n^3+1-1}{n+1 }=n^2-n+1-\frac{1}{n+1 }\ne n^2[/tex]

[pipi langstrump]

Теорема: Ако [tex]\lim_{n \to +\infty}x_n=x[/tex], то [tex]\lim_{n \to +\infty}\left (1+\frac{x_n}{n }\right )^n=e^x[/tex]

Само че тука имаме n^2. Трябва да се дообясни.

[inveidar]

Очаквах този въпрос. Дообяснявам. Когато една редица клони към някаква граница, то и всяка нейна подредица клони към същата граница, т.е когато [tex]x_n[/tex] клони към [tex]x[/tex], то и [tex]x_{n^2}[/tex] клони към [tex]x[/tex]. Същото важи и за границите на [tex](1+\frac{1}{ n})^n[/tex] и [tex](1+\frac{1}{ n^2})^{n^2}[/tex]. Така по-ясно ли е?

[inveidar]

Е, това дето го пишеш, не е вярно. Погледни предишния ми пост.
Хихи, голям бързак си!!! Що изтри онази глупост преди малко?

xixi.JPG (35.42 KiB) Прегледано 5854 пъти

[Xixibg]

Ами защото е глупост
[tex]y=(n-\frac{1}{2})^2+\varphi (n)[/tex] , където [tex]lim_{n->\infty}\varphi (n)=\frac{3}{4}[/tex]
Ето това е малко по вярно

[drago]

Ами защото е глупост
[tex]y=(n-\frac{1}{2})^2+\varphi (n)[/tex] , където [tex]lim_{n->\infty}\varphi (n)=\frac{3}{4}[/tex]
Ето това е малко по вярно

И с какво това ни топли?
Виж, Хихи, така може да се добута, но би следвало да го направиш, ако искаше да помогнеш на човека постнал задачата. Защото със сигурност там където учи няма да приемат това забърсване на "по-малките порядъци", освен, ако не учи физика, де .

Мен пък преди 34 години са ме учили така:
...

И на мен този начин най ми пасва. Да,... във ФМИ на СУ не учат на лоши навици!

[inveidar]

Не учеха! За сега, обаче, от допира ми с някои колеги, изобщо не съм убеден!!! Не искам да обиждам моите познати там. А те не са малко, но работата не отива на добре.

[Гост]

Е, не знам какво точно казваш! Моля, да поясниш. (И. Делев)

[inveidar]

Здравей, приятелю! Просто казвам, че някои от твоите колеги не обясняват добре нещата.
Това не се отнася за моите познати. Напротив. За тях отзивите са превъзходни!
И вземи си включи скайпа.