Производна на функция на една променлива

[scr0n1x]

Как мога да докажа, че производната на функцията или с други думи "Да се обоснове чрез дефиницията на производна, че:" ... (1-x^3)' = -3x² ...
Предполагам с lim, но ...

[scr0n1x]

Все тая успях да си я реша ...
(1-x^3)' = 3x²

Lim [ 1 - (x + dx)^3 - 1 + x^3 ] : dx
x->0

Lim [ - ( x^3 + 3x²(dx) + 3x(dx)² + (dx)^3) + x^3 ] : dx
x->0

Lim [ - x^3 - 3x²(dx) - 3x(dx)² - (dx)^3 + x^3 ] : dx
x->0

Lim [ - 3x²(dx) - 3x(dx)² - (dx)^3 ] : dx
x->0

Lim (dx)( -3x² - 3x(dx) - (dx)²) : (dx)
x->0

Lim (-3x² - 3x.0 - 0²)

Lim (-3x² - 0 - 0 ) = Lim -3x²

[s.karakoleva]

[tex]y=1-x^3[/tex]

[tex]y'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{x\to x_0} \frac{y-y_0}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0} \frac{1-x^3-(1-x_0^3)}{x-x_0}[/tex]

[tex]=\lim_{x\to x_0} \frac{-(x^3-x_0^3)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0} \frac{-(x-x_0)(x^2+xx_0+x_0^2)}{x-x_0}=-\lim_{x\to x_0} (x^2+xx_0+x_0^2)=-(x_0^2+x_0\cdot x_0+ x_0^2)=-3 x_0^2.[/tex]


[tex]\Rightarrow (1-x^3)'=-3x^2[/tex]