Производна на функция

[Гост]

Моля,помогнете ми за тази производна

[tex]f(x)= \left\{\begin{array}{ll} e^{-\frac{1}{ x^2}} , & x\ne 0 \\ 0 & x = 0 \end{array} \right.[/tex]

[ammornil]

[tex]f(x)=\left\{\begin{array}e^{^{-\frac{1}{x^2}}}, \hspace{4} x \ne 0 \\ 0, \hspace{26} x=0\end{array} \right.[/tex]
[tex]f'(x)=\left\{\begin{array}-(\frac{-2x}{x^4}).e^{^{-\frac{1}{x^2}}}=\frac{2}{x^3}.e^{^{-\frac{1}{x^2}}}, \hspace{4} x \ne 0 \\ 0, \hspace{4} x=0 \end{array}\right.[/tex]

[Гост]

Много ти благодаря !
И аз си мислех , че е така ,но ми изглеждаше много просто

[pipi langstrump]

Не виждам къде доказваш, че f'(0) = 0

[ammornil]

Производната на константа е 0.

[pipi langstrump]

Производната на константа е 0.

Значи ако беше друга константа, пак щеше да е толкова Y/N?

[drago]

...
Производната на константа е 0.

Драги, ammornil, не виждаш ли, че целият проблем на тази функция е в 0-лата. Наляво и надясно от 0-лата функцията е диференцируема и производната е ясна. В нулата обаче трябва да докажеш, че двете функции - наляво и надясно се слепват гладко. Те не само се слепват гладко, но и техните производни се слепват гладко и т.н. Всъщност[tex]f^{(n)}=0[/tex] за всяко [tex]n[/tex] и това е един пример на безкрайно диференцируема ф-я, която не е аналитична, защото реда на Тейлър в нулата е 0, а ф-ята не е тъждествено 0.

[Гост]

Prav e dragomir

[ammornil]

[tex]\lim_{x\to 0 \pm \epsilon} \hspace{4} e^{-\frac{1}{x^2}}=0[/tex]
функцията е непрекъсната.

[mkmarinov]

Непрекъсната е, остава само да докажеш че е диференцируема и да ѝ намериш производната (в 0).

[Гост]

Що го мъчите човека? Той явно си няма хабер!

[ammornil]

Досега да бяхте написали решението, вместо да се чудите имам ли или нямам идея.

[mkmarinov]

Ама що си мислиш, че се чудим

Сега ще покажем висши умения в ползването на дефиницията на производна.
[tex]f'(0)=\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \to 0}\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x} =^{let \frac{1}{t}=x} \lim_{t \to \pm \infty} \frac{t}{e^{t^2}}=0[/tex]