Локален екстремум

[maddevil]

Здравейте! Вчера бях на изпит по анализ и една от задачите ми беше свързана с локален екстремум. Задачата не е нищо особено, но когато тръгнах да пресмятам, сметките ми излязаха такива, че не можах да намеря точно екстремума. Ако може да помогнете с решението на задачата, ще ви бъда много благодарен.


Дадено е: z=y√x - 2y^2 - x + 14y
А) да се намери частната производна от първи ред
Б) да се намери втория диференциал
В) да се намерят локалните ексремуми

[ammornil]

[tex]z(x,y)=y\sqrt{x}-2y^2-x+14y \\
\vspace{5} \\
\cyr{DM}: \hspace{4} \left|x \ge 0 \\ \forall y \in R \right, \\
\vspace{10}\\
\underline{(\cyr{A})\cyr{da se nameri chastnata proizvodna ot pyrvi red}}\\
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{y}{2\sqrt{x}}-1 \hspace{144} \frac{\partial z}{\partial y}=\sqrt{x}-4y+14 \\
\vspace{10}\\
\underline{(\cyr{B})\cyr{da se nameri vtoriya diferentsial}}\\
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=\frac{y}{2}.\frac{-\frac{1}{2\sqrt{x}}}{|x|}=-\frac{y}{4|x|\sqrt{x}} \hspace{56} \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=-4 \hspace{144} \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=\frac{1}{2\sqrt{x}} \\
\vspace{5} \\
d^{2}z=-\frac{y}{4|x|\sqrt{x}}dx^2-4dy^2+\frac{dxdy}{2\sqrt{x}} \\
\vspace{10}\\
\underline{(\cyr{V})\cyr{da se nameryat lokalnite ekstremumi}}\\
\left|\frac{y}{2\sqrt{x}}-1=0 \\ \sqrt{x}-4y+14 =0 \right, \hspace{12} \left|y=2\sqrt{x} \\ \sqrt{x}=2 \right, \hspace{12} \Rightarrow \left|x=4 \hspace{2} \in \cyr{DM} \\ y=4 \hspace{2} \in \cyr{DM} \right, \\
\vspace{5} \\
H(z(4;4))=\left(-\frac{1}{8} \hspace{12} +\frac{1}{4} \\ +\frac{1}{4} \hspace{12} -4 \right) \\
D_1=-\frac{1}{8} <0 \\
D_2=detH=\frac{1}{8}.4-4.\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}<0 \\
\left, D_1<0 \\ D_2<0 \right} \Rightarrow z(4,4)-> \cyr{lokalen maksimum} \\
z_{max}=z(4;4)=4.\sqrt{4}-2.4^2-4+14.4=8-32-4+56=28[/tex]

За подточка В не съм сигурен, мисля че така се решаваше. [tex]H(z(x_i))[/tex] е хесианът на функцията [tex]z(x_i)[/tex].

[Гост]

Браво, благодаря. Чудесна работа ми свърши!

[maddevil]

Според мен има грешка при намирането на det H

Намира се при Zxx . Zyy - Zxy^2 = 3/8

det > 0
Zxx =- 1/8 < 0 => max