Разлика между частна производна и диференциал

[Гост]

Искам да ви попитам, каква е разликата между втора частна производна и диференциал от 2-ри ред?

[Гост]

Нека [tex]f(x; \, y)[/tex] е функция на две променливи.

Частна производна от втори ред е [tex]f_{xx}, \quad f_{yy}, \quad f_{xy}[/tex].

Диференциал от 2 ред е [tex]\operatorname{d}^2 f(x; \, y) = f_{xx} \operatorname{d}x^2 + 2 f_{xy} \operatorname{d}x \operatorname{d}y + f_{yy} \operatorname{d}y^2[/tex].

[Гост]

И сега ако обясниш като обекти какво представляват двете неща, може и да хванем разликата. Например, каква е ролята на тия dx и dy, от къде идват, какво представляват, и за какво служат.

[Гост]

viewtopic.php?f=65&t=11909

Виж тук, има решен пример.

[Гост]

Е то това не отговаря на въпроса. Тоя решен пример показва само едно приложение на понятието диференциал. При това, в контекста на тия задачи, рецептата може да се даде по такъв начин, че изобщо да не се намесва думата диференциал. По-скоро интересно ще е някой да обясни какво представлява като обект диференциала от н-ти ред на една функция.

[ammornil]

Диференциал в математиката се нарича "крайно малкото изменение на зависимата променлива при безкрайно малкото изменение на нейните аргументи". С други думи с колко ще се измени стойността на функцията, ако неизвестните в нея се променят незначително (незабележимо) малко.
Когато имаме функция на единствена променлива намирането на диференциалът от кой да е ред не е проблем. Ако [tex]y(x)=F(x)[/tex], то [tex]dy=F'(x).dx[/tex]. В този запис dy и dx са унитарни променливи (неделими символи) имащи знак и определена големина. В случая dx показва с колко се е променил аргумента, а dy показва с колко се е променила функцията когато се е променил аргумента.
dx се нарича безкрайно малко изменение на аргумента x, с други думи [tex]dx=(x_1-x_0)[/tex], където [tex](x_1-x_0) \to 0[/tex]. Тогава [tex]dy=\lim_{x_1-x_0 \to 0} [y(x_1)-y(x_0)]=\lim_{x_1-x_0 \to 0} \frac{y(x_1)-y(x_0)}{dx}.dx=\lim_{x_1-x_0 \to 0} \frac{y(x_1)-y(x_0)}{x_1-x_0}.dx= y'(x_0).dx[/tex]

Диференциалът е следствие на съществуването на съответната производна, следователно за да бъде намерен, трябва да се докаже че:
(1) разглежданата функция съществува в разглеждания интервал.
(2) функцията има производна от съответния ред и тя съществува в точките х_1 и х_0.

Понеже диференциалът разглежда "безкрайно малки изменение на аргумента", той се нарича още поведение на функцията в околностите на точка от аргумента. Затова в повечето случаи анализът налага изискване за това разглежданата функция да е непрекъсната в околностите на разглежданата точка х_1.

Когато се касае за изследване на функции на една променлива диференциали не се разглеждат. Причината за това, е че тези диференциали са функция само на една производна във всеки ред на разглеждане.
Когато обаче имаме функция на повече от една свободна променлива, производните от съответния ред стават повече от една. Причината за това е методът за намиране на тези производни, а именно съществуването на частните производни. Съгласно математическия анализ на функции на повече от една променлива, общото изменение на функцията е сбор от "частните изменения на функцията" при индивидуалната промяна на всяка независима променлива. Какво значи това на практика? Ето пример от физиката...

Кинетичната енергията на едно движещо се тяло е функция на неговата маса и на скоростта с която се движи. При ниски скорости (много по-ниски от тези на светлината) масата на тялото не зависи от скоростта му и в общия случай скоростта не се определя от масата на тялото (приемаме че имаме външен източник на движеща сила). Нека масата и скоростта на тялото да са променливи във времето (например вагон теглен от локомотив, от който вагон в движение скачат пътници НЕ ПРАВЕТЕ ТОВА НИКОГА!). Кинетичната енергия на вагона във всеки момент ще има вида [tex]E_k=\frac{mv^2}{2}[/tex]. Нека локомотивът променя скоростта във функция от времето както следва [tex]v(t)=v_0-a.t[/tex], a намаляването на масата на вагона да става по функция [tex]m(n)=m_0+(p-n).m[/tex], където m_0 e масата на празния вахон, m е средната маса на един пътник, р е първоначалният брой на пътниците, n е броят на скочилите пътници. Кунетичната енергия ще има вида:
[tex]E_k=\frac{m(n).[v(t)]^2}{2}[/tex] Изменението на тази енергия във функция от времето и броя на скочилите пътниците е
[tex]dE_k=\frac{m}{2}.2.v.dv+\frac{v^2}{2}dm=m.v.dv+\frac{v}{2}.dm[/tex], където
m и v са моментните стойности на тези величини в разглеждания момент, dv е изменението на скоростта от началния до разглеждания момент, а dm е изменението на масата до същия момент. Макар да не знаем в кой момент колко хора ще скочат, във всеки един момент знаем колко е намаляла скоростта и колко хора са скочили до момента.
Това е значението на диференциалът- да определя формално качествено и количествено изменението на функцията, като ни позволява и да определим с помощта на коя променлива по-лесно ие ефикасно можем да постигнем желано изменение. Диференциалът позволява изграждане на система за "управление на поведението" на целевата функция.

Този пример е по-добър с човали, изхвърляни от вагона, но мен повече ме радва така както го дадох (познавате ли добър психиатър?)

Диференциали от висок ред: това са диференциали получени чрез намиране на производните на предходните диференциали, които имат същата цел като събратята си- да показват изменение. За разлика от първия диференциал, вторият диференциал характеризира изменението на първия, тоест дава ни информация как да "управляваме" първия диференциал, за да постигнем такова негово изменение че да докараме целевата функция до позиция, където искаме да бъде нейната стойност. И така нататък, и така нататък. Колкото по-надолу отиваме в диференцирането, толкова по-пълна информация придобиваме за свойствата на целевата функция и за опасностите, които нашите действия може да крият. Математическият анализ посредством диференциално смятане позволява създаване на така наречените IF-модели, тоест "Какво ще стане ако...?".

Частна производна е характеристика на функция на "n измерения" (променливи), която показва скоростта на изменение на функцията в едно единствено направление (по една координатна ос).
Частните производни позволяват определянето на диференциал, посредством който се следи характера и големината на изменението на функцията, настъпило в резултат на промяна в стойностите на свободните променливи.

Забележете, че малкото нарастване на аргументите се бележи с dx, dy, dz също както и самото нарастване (тоест същинският диференциал на функцията). Но докато изменението на аргументите се нарича (чете) "безкрайно малкото изменение на...", то за функцията е прието да се казва (чете) "крайно малкото изменение". Думата "крайно" определя съществуване на достижима граница. Ето защо функцията може да е диференцируема, но ако стойността й в точката на диференциране не съвпада с границата на функцията в тази точка, няма диференциал.

[Гост]

Голям творец се оказва този аморнил. Обаче все още не става ясно що за животно е това диференциала.

[ferry2]

Ами обясни, че да ни се проясни и на нас.

[mkmarinov]

Ей, само не бях виждал доказателство на дефиницията на диференциал! Евала!!!

[ammornil]

Ей, само не бях виждал доказателство на дефиницията на диференциал! Евала!!!

Аз написах [tex]dy=\lim_{_{_{x_1-x_0 \to 0}}} [y(x_1)-y(x_0)]=\lim_{_{_{x_1-x_0 \to 0}}} \frac{y(x_1)-y(x_0)}{dx}.dx=\lim_{_{_{x_1-x_0 \to 0}}} \frac{y(x_1)-y(x_0)}{x_1-x_0}.dx= y'(x_0).dx[/tex], за да покажа че написаното от мен определение и популярната формулировка на диференциал са едно и също твърдение.
Това не е доказателство, а поредица равенства, показващи смисъла на диференциала: "крайно малкото изменение на функцията при безкрайно малкото изменение на аргумента", което е числено равно на първата производна на функцията в разглежданата точка умножена по изменението на аргумента.

--
p.s.: ако човек поживее достатъчно дълго ще види какво ли не.

[Гост]

А, как така dx в знаменателя стана хикс едно минус хикс нула, а след граничния преход в числителя остана dx? Също така, какво значи крайно малко и безкрайно малко, да ни обясниш.

[mkmarinov]

Аз твърдя, че за всяка непрекъсната в [tex]x_0[/tex] функция [tex]f[/tex], [tex]\lim_{x \to x_0}(f(x_0)-f(x))[/tex] е число, а не функция, и e равно на нула.

[Гост]

Начи, цялата работа е да се изясни какво представлява като обект тоя dx, защото ако f е диференцируема в отворен интервал, то по дефиниция df(x)=f'(x)dx, където х е от отворения интервал.

[Гост]

Да изясним първо случая на една променлива. Ако f е диференцируема в точка x, то по определение съществува число A (зависещо от х), така че f(x+h)-f(x)=Аh+o(h). Лесно човек може да види, че [tex]A=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}[/tex]. Прието е това число А да се бележи с f'(x) и да се нарича производна на f, в точката x. И така, производната на една диференцируема функция в точка, това е едно число.

Диференциал на диференцируема функция f, в точката x, това, по определение, е линейната част в нарастването на функцията f, т. е. това е линейната функция g(h)=Аh. Прието е тази линейна функция да се означава с df(x), тъй като тя зависи, както от функцията f, така и от точката х. И тъй, по определение
df(x)(h)=f'(x)h. Понеже x+h-x=1.h+0, имаме че x е диференцируема, и тогава dx(h)=1.h=h. Тогава
df(x)(h)=f'(x)h=f'(x)dx(h), което ни дава df(x)=f'(x)dx.
Ако сменим променливата x с нова променлива t, посредством диференцируема функция θ, т.е. положим x=θ(t), то поради теоремата за диференциране на съставна функция и определението за диференциал имаме
d(f°θ)(t)=f'(x)θ'(t)dt. От друга страна dθ(t)=θ'(t)dt и значи df(θ(t))=f'(θ(t))dθ(t), т. е. диференциала се оказа, че не зависи от смяна на променливата. Това негово свойство е прието да се нарича инвариантност.
Ако сега f е два пъти диференцируема, то можем да определим диференциал от втори ред по следния начин: d^2f(x)=df'(x).dx, което дава d^2f(x)=f''(x)dx^2, аналогично определяме диференциал от ред n, като взимаме диференциала на коефициента пред dx^n-1 и умножаваме с dx^n-1.